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2019-2020年七年级数学培优讲义 竞赛辅导 第5讲 质数与合数

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2019-2020年七年级数学培优讲义 竞赛辅导 第5讲 质数与合数

一、概念

质数:一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数,那么a就是质数,也叫做素数;如果除了1和a之外还有其他正约数,则a叫做合数。

1既不是质数也不是合数。 二、性质

1、合数有无穷多个 2、质数也有无穷多个

证明:假设只有有限多个质数:,构造一个数

是一个新的质数,若不然,N是一个合数,则N可以被中的某一个质数整除,而,因此1可被整除,矛盾!

注:.叫做n的阶乘。

这是一个存在性的证明,即人们知道质数有无穷多个,但至今为止,人们找到的质数还是有限个.现在人们正借助于网络计算机寻找越来越大的质数

3、质数2 是唯一的偶质数,也是最小的质数。解题中需要经常想到这一点。

4、如果质数p|ab,则p|a,或p|b.但是如果P不是质数,一般不具有这个性质。例如6|4×9=36,但是6不能整除4或者9。 1.试判别359是不是质数

分析:若359有一个大于19的约数,则必有一个小于19的约数,因此只要对359逐个用不超过19的质数检验,看能否整除。

2.求质数p,使得p+10和p+14都是质数

分析:试验——猜想——证明,是创造性思维的一种方法。本题需要分类讨论。

3.将1、2、…,xx这xx个数随意排成一行,得到一个数N,那么N是质数还是合数?

分析:需要抓住一种不变性——不管数字次序如何,所有数字的和都是确定的,而这个和是3的倍数。

4.已知3 个不同的质数a,b,c满足那么a+b+c的值等于_____

分析:本题用到质数2 的特殊性,需要用到分解质因数。

5.自然数n至少含有2 个大于10的质因数,那么n的最小值是______.

6.3599是质数还是合数?

7.用1、2、3、4、5任意组成一个五位数,所得的数中有几个质数?

8.p是质数。+2也是质数,则1997+________

9.3 个不同的质数m,n,p满足m+n=p,则mnp的最小值是_____

10.已知三个质数m,n,p的乘积等于它们的和的5 倍,则________

11.2 个质数的和为1995,则它们的积是_______

12.a,b,c,d,e是5个质数,其中a

13.已知正整数p,q都是质数,且7p+q与pq+11都是质数,试求p,q的值。

14.(1)是否存在连续4个正整数,他们均为合数?若存在,求出其中一组最小值;若不存在,说明理由 (2)写出10个连续的正整数,使其中每个都是合数

15.某书店积存了若干画片,按照每张5角出售,无人购买,现决定按照成本价出售,一下子全部售出,共卖了31元9角3 分,问一共有多少张画片? 数学阅读——亲和数

给定两个数m和n,若m除它本身外的所有因子之和等于n,而n除它本身外的所有因子之和等于m,我们就称m和n是一对亲和数,公元前6世纪的毕达哥拉斯最先发现了第一对亲和数220和284,因为220=1+2+4+71+142,284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110.亲和数之所以取此名,它象征着友谊,当别人问及毕达哥拉斯“朋友是什么”时,他答道:“是另一个我,可用亲和数表示.”

发现第二对亲和数与第一对亲和数的间隔竞是那么长远!直到1636年,费马才发现了第二对亲和数17296和18416.阿拉伯数学家泰比特·伊本给出一个寻找亲和数的法则:n>1,若a=3·2n-1,b=3·2n-1-1,c=9·22n-1-1全为素数,则2nab和2nc就是一对亲和数.如当n=2时就产生了220和284.第三对亲和数是笛卡尔于1638年提出的:9363584和9437056.1750年,欧拉提出了64对亲和数,后来人们验证有两对错了.1866年尼古拉发现1184和1210是一对亲和数,这是十分有趣的事情.人们从希腊时期就开始寻找亲和数,无数数学家为之花费了大量的精力和心血,并发现了大得多的亲和数,而这一对小亲和数直到此时才被发现,我们无不为尼古拉所做的巨大成就及付出的艰辛劳动所惊叹!

现在人们已知道上千对亲和数,其中最大的一对是莱尔在1974年发现的两个152位数:m=34·5·11·528119·29·89(2·1291·528119-1),n=34·5·11·528119(23·33·52·1291·528119-1),随着计算工具和程序设计的不断发展和改进,人们必将发现越来越多的亲和数.

2019-2020年七年级数学培优讲义 竞赛辅导 第5讲 质数与合数

2019-2020年七年级数学培优讲义竞赛辅导第5讲质数与合数一、概念质数:一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数,那么a就是质数,也叫做素数;如果除了1和a之外还有其他正约数,则a叫做合数。1既不是质数也不是合数。二、性质1、合数有无穷多个2、质数也有无穷多个证明:假设只有有限多个质数:,构造一
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