高考数学玩转压轴题专题7.2创新型问题
专题7.2 创新型问题
一．方法综述
对于创新型问题，包括：
（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）。 （Ⅱ）创新性问题
①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键. ②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.
③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.
二．解题策略 类型一 实际应用问题
【例1】【北京市石景山区2024届第一学期期末】小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t?s?，他与教练间的距离为y?m?，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）
A． 点M B． 点N C． 点P D． 点Q 【答案】D
【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．
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【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2017-2024上学期期末】2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子： ①a1?c1?a2?c2 ②a1?c1?a2?c2 ③c1a2?a1c2 ④其中正确的式子的序号是（ ）
c1c2? a1a2
A． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④ 【答案】B
类型二 创新性问题
【例2】设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个52
“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax－3x－a＋在区间[1,4]上存在
2“次不动点”，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0] 1??C.?－∞，? 2??
?1?B.?0，?
?2??1?D.?，＋∞? ?2?
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【答案】C
5522
【解析】由题意，方程ax－3x－a＋＝－x在区间[1,4]上有解，显然x≠1，所以方程ax－3x－a＋＝－2252x－
2
x在区间(1,4]上有解，即求函数a＝2在区间(1,4]上的值域，
x－1
令t＝4x－5，则t∈(－1,11]，a＝当t∈(0,11]时，0＜a＝
8t，当t∈(－1,0]时，a≤0；
t2＋10t＋9
8
1
＝，当且仅当t＝3时取等号． 2
8
≤9
t＋＋102
tt×＋10t9
1??综上，实数a的取值范围是?－∞，?. 2??
【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略． 【例3】定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝(1,3)为首项，公差为d＝(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N)垂直，则4 480
【答案】－
243
【解析】易知an＝(1,3)＋(n－1,0)＝(n,3)，因为向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N)垂直， 所以
*
*
x10
＝________. x1
xn＋1nx10x2x3x4x5x6x7x8x9x10?1??2??3??4??5?＝－，所以＝········＝?－?×?－?×?－?×?－?×?－?xn3x1x1x2x3x4x5x6x7x8x9?3??3??3??3??3?
4 480?6??7??8??9?×?－?×?－?×?－?×?－?＝－. 243?3??3??3??3?
【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。
【举一反三】【2017·青岛一模】如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有
x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．
??ln|x|，x≠0，
给出下列函数：①y＝x；②y＝e＋1；③y＝2x－sin x；④f(x)＝?
?0，x＝0.?
2
x
以上函数是“H函
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