课题：§1．1．1
授课类型：新授课 ●教学目的
正弦定理
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系摸索，掌握正弦定理内容及其证明办法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形两类基本问题。
过程与办法：让学生从已有几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角关系，引导学生通过观测，推导，比较，由特殊到普通归纳出正弦定理，并进行定理基本应用实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指引下解决解三角形问题运算能力；培养学生合情推理摸索数学规律数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量数量积等知识间联系来体现事物之间普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
正弦定理摸索和证明及其基本应用。 ●教学难点
已知两边和其中一边对角解三角形时判断解个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定?ABC边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动。 A 思考：?C大小与它对边AB长度之间有如何数量关系？ 显然，边AB长度随着其对角?C大小增大而增大。能否
用一种等式把这种关系精准地表达出来？ C B Ⅱ.讲授新课
[摸索研究] (图1．1-1)
在初中，咱们已学过如何解直角三角形，下面就一方面来探讨直角三角形中，角与边等式关系。如图1．1-2，
在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c，依照锐角三角函数中正弦函数定义，有
ab?sinA，?sinB，又ccsinC?1?， A
则
ccasinA?bsinB?csinC?c b c ?从而在直角三角形ABC中，
asinAbsinB?csinC C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意三角形，以上关系式与否依然成立？ （由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：
如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上高是CD，依照任意角三角函数定义，有CD=asinB?bsinA,则同理可得从而
asinA?bsinB， C csinC??bsinB?， b a asinAbsinBcsinC A c B
(图1．1-3)
思考：与否可以用其他办法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作j?AC， C 由向量加法可得 AB?AC?CB
则 j?AB?j?(AC?CB) A B ∴j?AB?j?AC?j?CB j
jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?
∴csinA?asinC，即
同理，过点C作j?BC，可得 从而
ac? sinAsinCbc? sinBsinCasinA?bsinB?csinC
类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式依然成立。（由学生课后自己推导）
从上面研探过程，可得如下定理
正弦定理：在一种三角形中，各边和它所对角正弦比相等，即
asinA[理解定理]
?bsinB?csinC
（1）正弦定理阐明同一三角形中，边与其对角正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使
a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；
（2）
asinA?bsinB?csinC等价于
asinA?bsinB，
csinC?bsinB，
asinA?csinC
从而知正弦定理基本作用为：
①已知三角形任意两角及其一边可以求其她边，如a?bsinA； sinB②已知三角形任意两边与其中一边对角可以求其她角正弦值，如sinA?sinB。
普通地，已知三角形某些边和角，求其她边和角过程叫作解三角形。 [例题分析]
例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：依照三角形内角和定理，
abC?1800?(A?B)
?1800?(32.00?81.80) ?66.20；
依照正弦定理，
asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；
sinAsin32.00依照正弦定理，
asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).
sinAsin32.00评述：对于解三角形中复杂运算可使用计算器。
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