二次函数的压轴题分类复习
一、抛物线关于三角形面积问题
例题 二次函数y?(x?m)2?k的图象，其顶点坐标为M(1，?4). （1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S?PAB?若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y?x?b(b?1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围. 练习：
1. 如图．平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，线段AB交y轴与点E． （1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与O、B重合），直线EF 与抛物线交与M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求?BON的面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
125S?MAB,若存在，求出P点的坐标；4y 2. 如图，已知抛物线y??x2?x?4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B． （1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； （2）设P(x,y)（x?0）是直线y?x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角M 线作正方形PEQF．若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； B E S，求S关于x的函（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为数解析式，并探究S的最大值．
A O F yBF二、抛物线中线段长度最小问题
点，其中点A的坐标为（－3，0）． （1）求点B的坐标；
N x P例题 如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两QEAxO（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴，QD交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 练习：
1. 如图， Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（?3，0）、（0，4），抛物线y?x2?bx?c经过B点，且顶点在直线x?（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．
y235上． 2三、抛物线与线段和最小的问题
BC1例题 如图，已知抛物线y??x?2??x?a??a?0?与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，aN且点B在点C的左侧．
M（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题； ①求出△BCE的面积；
AODEx②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标． 练习：
1. 如图，已知二次函数y?ax2?4x?c的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． y 2. 如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与O x轴、y轴A x 分别交于F、G．
B （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出H的坐标；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．
四、抛物线与等腰三角形
物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
D y C E B x 例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛G A F O (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 练习：
1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C
1的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x??
2（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标． 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD． ①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
3. 如图，已知抛物线于x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）. （1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：
（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。
五、抛物线与直角三角形
例题 如图，抛物线y?ax2?bx?c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 练习：
1. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
2 如图，抛物线y＝mx2―2mx―3m(m＞0)与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点. （1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明
由.
y 六、抛物线与四边形
5A O 例题 1. 如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－）三点． 2B x （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标； C M （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
y 2. 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线y?x?1与二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上. （1）二次函数的解析式为y= ；
（2）证明点(?m,2m?1)不在（1）中所求的二次函数的图像上； AO C Bx （3）若C为线段AB的中点，过C点作CE?x轴于E点，CE与二次函数的图像交于D点.
① y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标
是 ；
②二次函数的图像上是否存在点P，使得S?POE?2S?ABD？若存在，求出P点坐标；若不
存在，请说明理由. 练习：
1. 如图，抛物线y??5217x?x?1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一44点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.
N 2. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y2B 轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y?ax2?bx?c经过点A、B和D（4，?）. 3（1）求抛物线的表达式.
M A （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=PQ2(cm2).
O P C x
中考数学中二次函数压轴题分类总结
