§3.2 导数的应用(一)
2014高考会这样考 1.利用导数的有关知识，研究函数的单调性、极值、最值；2.讨论含参数的函数的单调性、极值问题．
复习备考要这样做 1.从导数的定义和“以直代曲”的思想理解导数的意义，体会导数的工具作用；2.理解导数和单调性的关系，掌握利用导数求单调性、极值、最值的方法步骤．
1．函数的单调性
设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数；如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数． 2．函数的极值
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x附近所有点x，都有f(x)
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；
(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．
如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值． 4．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最
小值．
[难点正本 疑点清源]
1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较． 2．f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．
3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
x2＋a
1．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.
x＋1答案 3
2x2＋2x－x2－ax2＋2x－a
解析 f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝1处取极值，所以1是f′(x)
?x＋1?2?x＋1?2＝0的根，将x＝1代入得a＝3.
2．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 答案 [－3，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，
则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.
3．如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ①f(x)在[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x＝3是f(x)的极小值点．
其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③
解析 ①∵f′(x)在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f(x)在[－2，－1]上是减函数；
②∵f′(－1)＝0且在x＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x＝－1是f(x)的极小值点； ③对， ④不对，由于f′(3)≠0.
4．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为
( )
A．－1 答案 C
B．0
23C．－
9
D.
3 3
解析 g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
x g′(x) g(x) 所以当x＝0 0 33
，x2＝－(舍去)． 33
?0，3? 3??－ 3 30 极小值 ?3，1? ?3?＋ 1 0 3233时，g(x)有最小值g??＝－. 39?3?5．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为 ( ) A．(－1,1)
B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
C．(－∞，－1) 答案 B
解析 设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞).
题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调增区间；
(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
思维启迪：函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论． 解 f′(x)＝ex－a，
(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，
即f(x)在R上递增，
若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a. 因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R， 当a>0时，f(x)的单调增区间是[ln a，＋∞)． (2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立． 又∵－2 探究提高 (1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤： ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数f′(x)； ③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； ④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间． (2)要注意对含参数的函数的单调性进行讨论； (3)对已知函数的单调性的问题一定要掌握导数的条件． 已知函数f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间． 解 (1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3. 13 x－?. 由f′(x)≥0，得a≤?2?x?13 x－?，当x≥1时，t(x)是增函数， 记t(x)＝?2?x?3 ∴t(x)min＝(1－1)＝0.∴a≤0. 2 (2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0， ∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3. 1 令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝3. 3 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1－1(－13) 3 3，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 ∴当x∈??－∞，－13??，[3，＋∞)时，f(x)单调递增， 当x∈??－1 3，3??时，f(x)单调递减． 题型二 利用导数研究函数的极值 例2 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1. (1)设a＝2，求f(x)的单调区间； (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围． 思维启迪：(1)单调区间即为f′(x)>0，f′(x)<0的解区间． (2)f′(x)的零点在(2,3)内至少有一个． 解 (1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1， f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋3)(x－2－3)． 当x∈(－∞，2－3)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－3)上单调递增； 当x∈(2－3，2＋3)时，f′(x)<0，f(x)在(2－3，2＋3)上单调递减；当x∈(2＋3，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2＋3，＋∞)上单调递增． 综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)， f(x)的单调减区间是(2－3，2＋3)． (2)f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]． 当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点； 当1－a2<0时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－a2－1， x2＝a＋a2－1. 由题意，知2 或2 a2－1<3， ①无解，②的解为5555 4 )． ① ②
高考数学第一轮复习导数及其应用【配套文档】第三章3.2
