圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第10章 矩阵的特征值和特征向量
10.1 考点归纳
一、特征值和特征向量 1．特征值与特征向量的定义
设A为n阶矩阵，若存在数k?0，k?和非零的n维列向量?，使得A?=??，则称数?为矩阵A的特征值，?为对应于特征值?的特征向量．
如果?是矩阵A的特征值，则齐次线性方程组(A??E)X=0有非零解?，其中，E为n阶单位矩阵，?为A的对应于?的特征向量．
注：如果?是A的对应于特征值?的特征向量，则对任一非零数k?0，k?也是A的对应于特征值?的特征向量．因此，特征向量不是被特征值唯一决定的．但是，特征值却是被特征向量唯一确定．
2．求矩阵A的特征值及特征向量的步骤 （1）计算特征多项式（2）求出特征多项式
?E?A；
?E?A的全部根，即A的全部特征值；
（3）对于A的每个互异的特征值?0，求出齐次线性方程组
?0E?AX=0的一个基
+kr?r为A础解系?1，,?2，,?r，则对于不全为零的数k1,k2，,kr，?=k1?1+k2?2+的对应于?0的全部特征向量．
3．特征值与特征向量的性质
（1）设?1,?2，,?n是矩阵A的n个特征值，则： ①?1?2?n=A；
1 / 13
圣才电子书 www.100xuexi.com②?1+?2+ 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 +?n=tr(A)．
（2）设?1,?2，,?r是矩阵A的r个互不相同的特征值，?i是对应于?i的特征向量，则?1,?2，,?r线性无关．
（3）设?0是n阶矩阵A的某个特征值，则?0是n阶矩阵A的特征值，其中k为正整
kk数．如果A是以n阶可逆矩阵，?0是A的特征值，则对任意整数k，?0是A的特征值．
kk（4）设?1,?2,,?r是A的r个互不相同的特征值，qi是?i的重数，ai1,ai2,对应于
,aiqi是
?i的qi个线性无关的特征向量，则A的所有这些特征向量
12r?11,?12,,?1q;?21,?22,,?2q;,?r1,?r2,,?rq仍然线性无关．
二、实对称矩阵的对角化 1．相似矩阵的定义与性质 （1）定义
设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使PAP=B，则称B是A的相似矩阵或称A与B相似．
（2）性质
①若n阶矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相同，从而A与B的特征值也相同；
?1??1??2?②若n阶矩阵A与对角阵?=???值．若A相似于对角阵，则称A可对角化．
2．实对称矩阵的对角化
???相似，则?,?,12???n?,?n是A的特征
n阶矩阵A可对角化的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量．在这种情况下，
2 / 13
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 对角阵的n个主对角元素恰是A的n个特征值．
（1）实对称矩阵的特征值必定是实数，并且对应于不同特征值的特征向量是相互正交的．
（2）实对称矩阵A一定可以对角化，即存在正交矩阵P，使PAP=?，其中A是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵．
10.2 典型题（含历年真题）详解
一、选择题
1．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的为（ ）.[2012研] A．??1?11? ??01??11?B．??
02??C．??11? ??12??12?? 12??D．?【答案】A
【解析】易得B项的特征值为1和2；
2C项的特征方程为??3?+2，?=9?8=1?0，因此C也有两个不同的特征值；
同理易得，D项也有两个不同的特征值；所以只有A项不能相似于对角矩阵.
3 / 13
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 k2．设A为n阶方阵，且对任意大于等于1的整数k，A=0，则下面结论（ ）
成立．
A．A＝0
B．A有一个为0的特征值 C．A的特征值全为0
D．A存在n个线性无关的特征向量 【答案】C
kkk【解析】设?是矩阵A的特征值，则?是矩阵A的特征值．又A=0，所以
?k=0??=0．
?114???3．设A=?1x2?，并且A的特征值为0，1，2，则x=（ ）．
?001???A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】?1+?2+
二、填空题
1．已知A=E，则A的特征值为 ．
4 / 13
2+?n=?11+?22++?nn?0+1+2=1+x+1?x=1．
圣才电子书 www.100xuexi.com【答案】?1
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 【解析】设?是A的特征值，x是A的属于?的特征向量，即Ax=?x，在此式两边
22222左乘矩阵A得Ax=?Ax=?x．因A=E，所以Ax=Ex=x，于是?x=x，因x?0，
故?=?1．
?200??200?????2．设A与B相似，其中A=?001?，B=?0y0?，则x= ，y= ．
?01x??00?1?????【答案】0；1
【解析】因为A与B相似，所以A与B有相同的特征值，于是?之得：x=0，y=1．
?2+x=2+y?1，解
A=B??aa?003．设a是非零实数，n阶矩阵A=????00征向量为 ．
a?0??，则它的特征值为 ，对应的特??0???1???1??0??0?????【答案】?1=0(n?1重),?2=?；?1=??,?2=??,????0???1??1??0?????【解析】设?的矩阵A的特征值，由
??1??1??1??0?????,?n?1=???n=??
????0???0??0??0?????
得A的特征值为?1=0(n?1重),?2=a，对应的特征向量分别为
5 / 13
全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学考点归纳与典型题(含历年真题)详解-矩阵的特征值和特征向量(圣
