辽宁省沈阳市2024届高三四校联考数学（理）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “x?5”是“log5x?1”的（ ） A．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
B．必要不充分条件
??log2?1?x?x?02．定义在R上的函数f?x?满足f(x)??，则f?2024??（）
fx?5x?0????A．-1
B．0
C．1
D．2
3．如图所示是某几何体的三视图，则它的表面积是（ ）
A．7? B．8? C．(7?2)? D．(6?2)?
4．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形，且
PT5?1.下列关系中正确的是（ ） ?AT2
uuuruurur5?1uuA．BP?TS?RS
2uuuruur5?1B．CQ?TP?TS
2uuuruuuruuuruuurr5?15?1uuuES?AP?BQAT?BQ?CR22C． D．
25． 已知f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，当x?(0,2)时，f(x)?x?lnx，则f(2024)?（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
x2y26．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l:4x?3y?0与椭圆
ab相交于A、B两点.若|AF|?|BF|?6，点P到直线l的距离不小于
6，则椭圆离心率的取值范围为 59(0,]5 A．
(0,B．
3513](0,](,]2 C．3 D．32
7．三棱锥S?ABC中，SA?BC,SC?AB,则S在底面ABC的投影一定在三角形ABC的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
8．a,b,c分别为锐角?ABC内角A,B,C的对边，函数f(x)?x2?c2?a2?ab有唯一零点，则范围是（ ）
b的取值aA．(1,3)
3(,2)B．2 3
(,3)C．2 D．(1,2)
x?y?5?09．已知x、y满足约束条件{x?y?0，则z?2x?4y的最小值是（ ）
x?3A．?6 B．5
C．10 D．?10
210．若函数f?x??2x??x?a?x?a|在区间[?3,0]上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A．??3,0???0,9? C．
B．(?9,0)?(0,3)
??9,3?
D．
??3,9?
?,x?R)的部分图象如图所示，则函数表达式为 211．函数y?Asin(?x??)(??0,|?|?
A．y??4sin(?x?) 84?B．y?4sin(?x?)
84?y?4sin(x?)y??4sin(x?)84 D．84 C．
12．下列命题中：
2①若命题p:?x0?R，x0?x0?0，则?p:?x?R，x2?x?0；
????②将y?sin2x的图象沿x轴向右平移
????个单位，得到的图象对应函数为y?sin?2x??； 66??③“x?0”是“x?1?2”的充分必要条件； x2④已知Mx0,y0为圆x2?y2?R2内异于圆心的一点，则直线x0x?y0y?R与该圆相交.
??其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?2?x?[,]63时f(x)的最小值为__． 13．已知f(x)?2sin2?x的周期为?，则当
lnb，lnaee，则b的值为____． 14．已知函数f(x)?e(x?ax?1)的单调减区间为
x2??a15．已知球O的半径为3，圆A与圆C为该球的两个小圆，半径相等且所在平面互相垂直，圆A与圆C的公共弦MN的长为25，点B是弦MN的中点，则四边形OABC的面积为__________．
16．若命题“
?x??0,???,x?1?mx”是假命题，则实数m的取值范围是___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x2y2C:2?2?1(a?b?0)ab17．（12分）已知椭圆，点M是C长轴上的一个动点，过点M的直线l与C交
5?于P，Q两点，与y轴交于点N，弦PQ的中点为R．当M为C的右焦点且l的倾斜角为6时，N，P重合，
PM?2．求椭圆C的方程；当M，N均与原点O不重合时，过点N且垂直于OR的直线l'与xOM轴交于点H．求证：
OH为定值．
f(x)?18．（12分）设函数
x?aln(1?x)1?x，g(x)?ln(1?x)?bx．若函数f（x）在x?0处有极值，
求函数f（x）的最大值；是否存在实数b，使得关于x的不等式g(x)?0在(0,??)上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由； 19．（12分） [选修4-4：坐标系与参数方程]
cos2?sin2???243. 求曲以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是?1线C的直角坐标方程；设过点值.
P?1,0?且倾斜角为45的直线l和曲线C交于两点A，B，求
oPA?PB的
20．（12分）已知函数
（fx）?x?k?|x?2（|k?R）（?|2x?m（|m?Z）gx）?1的整，gx）.若关于x的不等式（fx）?m的解集；若（hx）?x2?2x?3，若数解有且仅有一个值?4，当k?2时，求不等式（?x1?R，?x2?（0，?∞）fx1）?（hx2），使得（成立，求实数k的取值范围.
21．（12分）在△ABC中，角A , B , C的对边分别为a , b , c，且满足若a?13，△ABC的面积为3?2b?c?cosA?acosC．求角A；
3，求△ABC的周长．
?x??1?t?y?2?t（t为参数）xOy22．（10分）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为?，以坐标原点为
极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
?2?21?sin2?，直线l与曲线C交
?2????2,4??PA?PBA,B??，Cl于两点.求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；已知点P的极坐标为的
值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．-3 14．e 15．2 16．
(2,+?)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x217． (1) ?y2?1 (2)见证明
4【解析】
【分析】
（1）根据题意得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线l:y?kx?m?k?0?，
P?x1,y1?，Q?x2,y2?，联立直线和椭圆的方程得到R??OMOHm??4km?m?,，点的坐标为H???,0?，22?4k?14k?1??4k?再求为定值.
【详解】
（1）因为当M为C的右焦点，且l的倾斜角为
5?时，N,P重合，PM?2. 6?a?2?x22所以?b3，因此b?1，c?3，所以椭圆C的方程为?y?1.
4??3?c（2）设直线l:y?kx?m?k?0?，P?x1,y1?，Q?x2,y2?，
x2222将y?kx?m代入?y2?1得：?1?4k?x?8kmx?4m?4?0，
4?8km4m2?4所以x1?x2?，x1x2?， 24k2?14k?1m?1?4kmR?,k?? 所以?，?OR224k?4k?14k?1?所以直线l?的方程为y?4kx?m，所以点H的坐标为???m?,0?， 4k??OM?m??4为定值. M?,0又因为点??，所以
OH?k?【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学
生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．（1）函数f（x）的最大值为0（2）存在b?[1,??)，详见解析 【解析】 【分析】
（1）函数f（x）在x?0处有极值说明f（2）对g?x?求导，并判断其单调性。 【详解】
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【附加15套高考模拟试卷】辽宁省沈阳市2024届高三四校联考数学(理)试题含答案
