?1由条件①，有 ?E0acos??A1acos??C?C
2于是得到 A1?aE0 故圆柱外的电位为
?(r,?)?(?r?a2r?1)E0cos??C
若选择导体圆柱表面为电位参考点，即?(a,?)?0，则C?0。
导体圆柱外的电场则为
22??1??aaE????(r,?)??er?e???er(1?2)E0cos??e?(?1?2)E0sin?
?rr??rr??(r,?)导体圆柱表面的电荷面密度为 ????0r?a?2?0E0cos?
?r4.9 在介电常数为?的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场E0?exE0，求空腔内和
空腔外的电位函数。
解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E0与极化电荷的电场Ep的叠加。外电场的电位为?0(r,?)??E0x??E0rcos?而感应电荷的电位?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，则空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)的边界条件为
① r??时，?2(r,?)??E0rcos?； ② r?0时，?1(r,?)为有限值；
③ r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，?0由条件①和②，可设
?1(r,?)??E0rcos??A1rcos? (r?a) ?2(r,?)??E0rcos??A2r?1cos? (r?a)
?1?2带入条件③，有 A1a?A2a，??0E0??0A1???E0??aA2
??1????2 ?r?r???0???02E0， A2??aE0 ???0???02??(r,?)??E0rcos? (r?a) 所以 1???0???0a2?2(r,?)??[1?()]E0rcos? (r?a)
???0r由此解得 A1??4.10 一圆柱面被分题4.10图所分之一圆柱分别保持电电位函数。
解 由
y0U0box?U00个半径为b、无限长的薄导体割成四个四分之一圆柱面，如示。第二象限和第四象限的四面接地，第一象限和第三象限位U0和?U0。求圆柱面内部的题意可知，圆柱面内部的电位
题4.10图
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函数满足边界条件为
① ?(0,?)为有限值；
?U0?0??(b,?)?② ???U0??0?0????2?2????；
????3?23?2???2?由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为
?(r,?)??rn(Ansinn??Bncosn?) (r?b)
n?1n代入条件②，有 ?b(Ansinn??Bncosn?)??(b,?)
n?1?由此得到
1An?nb?2?1?(b,?)sinn?d??[?U0sinn?d???nb?00?23?2U??0sinn?d?]??2U0,n?1,3,5,LU0?n (1?cosn?)??n?bnbn???0，n?2,4,6,L1Bn?nb?2???(b,?)cosn?d??b?[?Un01?203?2cosn?d??0U??0cosn?d?]?
n?1,3,5,Ln?2,4,6,Ln?3?2U0,U0n?3n??(?1)2n(sin?sin)?n?b?bnn?22?0，?
n?31rn()[sinn??(?1)2cosn?] (r?b) 故 ?(r,?)???n?1,3,5,Lnb4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为?，在距离轴线r0(r0?a)处，有一与圆柱平行的线电荷ql，计
2U0?算空间各部分的电位。
解 在线电荷ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位?l(r,?)与极化电荷的电位?p(r,?)的叠加，
即?(r,?)??l(r,?)??p(r,?)。线电荷ql的电位为
?l(r,?)??yql2??0lnR??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos? （1）
?0a?oqlr0x而极化电荷的电位?p(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。介质圆柱内外的电位?1(r,?)和?2(r,?)满足的边界条件为分别为
① ?1(0,?)为有限值；
② ?2(r,?)??l(r,?)(r??)
③ r?a时，?1??2,?37 / 51下载文档可编辑
题4.11图
??1????02 ?r?r由条件①和②可知，?1(r,?)和?2(r,?)的通解为
?1(r,?)??l(r,?)??Anrncosn?n?1? (0?r?a)
?（2）
n?1?2(r,?)??l(r,?)??Bnr?ncosn? (a?r??)
（3）
将式（1）～（3）带入条件③，可得到
???Aann?1ncosn???Bna?ncosn?
n?1（4）
?(An?nan?1?Bn?0na?n?1)cosn??(???0)n?1?ql?lnR2??0?rr?a
（5）
?1rnlnR?lnr?()cosn? r?r?当00时，将lnR展开为级数，有
n?1nr0（6）
带入式（5），得 ?(An?nan?1?n?1?Bn?0na?n?1(???0)ql)cosn???2??0r0an?1()cosn? ?n?1r0?（7）
n?n由式（4）和（7），有 Ana?Bna
An?nan?1?Bn?0na?n?1??(???0)qlan?1()
2??0r0r0ql(???0)1ql(???0)a2n 由此解得 An??2??(???)nrn， Bn??n2??(???)nr000000故得到圆柱内、外的电位分别为
ql(???0)?1rn?1(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn? 2??02??0(???0)n?1nr0220ql（8）
ql(???0)?1a2n?2(r,?)??lnr?r?2rr0cos??()cosn? ?2??02??0(???0)n?1nr0r220ql（9）
讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为
ql(???0)?1rnql(???0)?()cosn??(lnR?lnr0) ?2??0(???0)n?1nr02??0(???0)ql(???0)?1a2nql(???0)?()cosn??(lnR??lnr) ?2??0(???0)n?1nr0r2??0(???0)38 / 51下载文档可编辑
其中R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?1(r,?)和?2(r,?)分别写成为
?1(r,?)??2?0qlq(???0)lnR?llnr0
2??0???02??0(???0)1qllnR?1?(???0)ql1(???0)qllnR??lnr
2??02??0???02??0???0 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（r0,0）的线电荷
?2(r,?)??2?0q???0l的电位相同，而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，
???0a2
?r,q它们分别为：位于（00）的线电荷l；位于(,0)的线电荷???ql；
r00???0位于r?0的线电荷???ql。
04.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。
解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位?l(r,?)与感应电荷的电位?in(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??in(r,?)。线电荷ql的电位为
2??0而感应电荷的电位?in(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。
?l(r,?)??ql2??0lnR??qllnr2?r02?2rr0cos? （1）
?(r,?)满足的边界条件为
① ?(r,?)??l(r,?)(r??)； ② ?(a,?)?C。
由于电位分布是?的偶函数，并由条件①可知，?(r,?)的通解为
?(r,?)??l(r,?)??Anr?ncosn? （2）
n?0?将式（1）和（2）带入条件②，可得到
?Ana?ncosn??C?n?0?ql2??0lna2?r02?2ar0cos? （3）
将lna2?r02?2ar0cos?展开为级数，有
220?1alna?r?2ar0cos??lnr0??()ncosn?
n?1nr0（4）
带入式（3），得
?Anacosn??C??nn?0?1a[lnr0??()ncosn?] （5） 2??0n?1nr0ql?a2n() 由此可得 A0?C?2??lnr0， An??2??0nr00qlql39 / 51下载文档可编辑
故导体圆柱外的电为
?(r,?)??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos?? ql1a2n(C?lnr0)?()cosn? （6） ?2??02??0n?1nr0rql?讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为
ql1a2n?()cosn??(lnR??lnr) ?2??0n?1nr0r2??0ql?其中R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?(r,?)写成为
?(r,?)??ql2??0lnR?ql2??0lnR??ql2??0lnr?C?ql2??0lnr0
由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：
a2
位于（r0,0）的线电荷ql；位于(,0)的线电荷?ql；位于r?0的线电
r0
荷ql。
4.13 在均匀外电场E0?ezE0中放入半径为a的导体球，设（1）
导体充电至U0；（2）导体上充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。
解 （1）这里导体充电至U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0，此时导体球面上的电荷密度???0U0a，总电荷q?4??0aU0。将导体球放入均匀外电场E0中后，在E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。
设?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中
?0(r,?)??E0z??E0rcos?
是均匀外电场E0的电位，?in(r,?)是导体球上的电荷产生的电位。
电位?(r,?)满足的边界条件为
① r??时，?(r,?)??E0rcos?；
????r?a?(a,?)?C0?② 时， ?dS?q 0，
S?r其中C0为常数，若适当选择?(r,?)的参考点，可使C0?U0。
?2?1由条件①，可设 ?(r,?)??E0rcos??A1rcos??B1r?C1
3代入条件②，可得到 A1?aE0，B1?aU0，C1?C0?U0
3?2?1若使C0?U0，可得到 ?(r,?)??E0rcos??aE0rcos??aU0r
（2）导体上充电荷Q时，令Q?4??0aU0，有 U0?Q4??0a
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电磁场与电磁波(第三版)课后答案
