函数应用（Ⅱ）
【学习目标】
1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握
数学建模的一般步骤和方法.
2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他
学科中的应用.
3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解
决问题的能力，增强数学的应用意识.
【要点梳理】
要点一：解答应用问题的基本思想和步骤
1.解应用题的基本思想
2.解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
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弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然
后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实
际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言)?数学问题(数量关系与函数模型)?建模(数学语言)?求模(求解数学问
题)?反馈(还原成实际问题的解答).
要点二：解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往
往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领
悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解
体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.
其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函
数关系.
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其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题
一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能
地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非
数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”
即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一
遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.
【典型例题】
类型一、已建立函数模型的应用题
例1．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增
长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T. R. Malthus，1766～1834)就提出了自然状态下的
rt人口增长模型：y?y0e，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
下表是1950～1959年的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0．000 1)，用马尔萨斯
人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符．
(2)如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口可达到13亿?
【解析】 (1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9．由55196(1+r1)＝56300，可得
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1951年的人口增长率r1≈0.0200．
同理可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，
r9≈0.0184．
于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为
r＝(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221．
令y0?55196，则我国在195l～1959年期间的人口增长模型为y?55196.
0.0221t，t∈N．
根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55196 e0022 1t(t∈N)的图象(如图所示)．
由上图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
(2)将y＝130000代入y＝55196 e0022 1t，由计算器可得t≈38.76．
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所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．由
此可以看出，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国会面临难以承受的人口压力．
【总结升华】明确解题的基本步骤：
阅读理解，审清题意—→引进数学符号，建立数学模—→解答函数(或方程)问题—→回归应用情境，
回答具体问题．
举一反三：
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【变式1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常
量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高
空的大气压强（结果保留3位有效数字）。
【答案】 0.943×105.
【解析】 这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105 Pa和x=1000 m时y=0.90
×105 Pa可求。
将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx中，得
?1.01?105?cek?0?c?1.01?105??，∴?。 ?51000k51000k???0.90?10?ce?0.90?10?ce将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k， ∴k?10.90。 ?ln10001.01－
由计算器算得k=－1.15×104，
?4∴y?1.01?105?e?1.15?10x。
?4将x=600代入上述函数关系式得y?1.01?105?e?1.15?10由计算器算得y=0.943×105 Pa。
?600，
答：600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa。
【总结升华】 函数y=c·akx（a、c、k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人
口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据
题意确定相关的系数即可。
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知识讲解函数应用Ⅱ提高
