第六章 线性空间
学习单元2： 线性空间的定义与简单性质
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? 导学 学习目标：
深刻理解线性空间的概念；掌握线性空间的基本性质；掌握若干具体线性空间的例子。
学习建议：
线性空间的概念比较抽象，建议大家多读几遍定义，多看例题，结合具体线性空间的例题去理解线性空间的概念。
重点难点：
重点：理解线性空间的概念，掌握线性空间的具体例子。 难点：深刻理解线性空间的概念。
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? 学习内容 一、引例
观察以前学过的一些集合：
uuruurV2中向量有加法运算，（1）A为终点的向量}，V2?{0A|0A为平面上以原点为起点，
实数k与V2中向量有乘法运算（数乘）；
（2）Pn?{(a1,L,an)|ai?P,i?1,2,L,n},Pn中有加法运算，P中数与Pn中向量有乘法运算（数乘）；
（3）P[x]?{f(x)|f(x)为P上关于文字x的一元多项式}，P[x]中有加法，数域P中数与P[x]中多项式有乘法（数乘）。
这些运算都有8条共同的性质：加法满足交换律，结合律，存在零元和负元，数乘满足：数1乘任何元不变，数乘有结合律，数乘对加法有分配律，数的加法对数乘有分配律。
二、集合上的二元运算
定义 设M为一个集合，M?M到M的一个映射就称为M上一个二元运算。 例 +：Z?Z?Z?:R?R?R
(a,b)?a?b (r,s)?r?s。
三、线性空间的定义
定义 设V是一个非空集合，P是一个数域。在V上定义有一个叫加法的二元运算，即对任何?,??V，有????V；在P和V之间定义有一个叫数乘的运算，即对任何有k??V。这两个运算如果满足下列8条规则，则称V为P上线性空间。 k?P，??V，
（1）????????,??V；
（2）(???)?????(???),?,?,??V；
（3）在V中存在一个特殊元素叫零元素，记为0，满足
??0??,??V；
（4）对任何??V，存在??V，使????0，满足这一要求的?叫?的负元素； （5）1???，1为P中的数1，??V； （6）(kl)??k(l?),k,l?P,??V； （7）(k?l)??k??l?,k,l?P,??V； （8）k(???)?k??k?,k?P,?,??V。
注：当V为P上线性空间时，称V中元素为向量。
uuuruuur例1 V?V2?{OA|OA为平面上以O为起点，A为终点的向量}，P?R。
V中加法：向量的平行四边形法则规定； P中数与V中向量的数乘，按通常几何定义。 则V2为R上线性空间。
例2 V?Pn,P?P。
V中加法：Pn中n维向量的加法。
P中数与V中向量的数乘：数与n维向量的数乘，则Pn为P上线性空间。 例3 V?Pm?n,P?P。 V中加法：矩阵加法。
P中数与V中元的数乘：数与矩阵的数乘。 则Pm?n为P上线性空间。
例4 V?P[x],P?P。 V中加法：多项式的加法。
P中数与V中元的数乘，数与多项式的乘法。 则P[x]为P上线性空间。
例5 V?C（复数域），P?R。 V中加法：复数的加法。
P中数与V中元的数乘：实数与复数的乘法，则C为R上线性空间。 例6 V?R,P?C。 V中加法：数的加法； V中数乘：数的乘法。 则R不是C上线性空间。
例7 V?R?（正实数之集），P=R。
V中加法“?”：a?b?ab,a,b?R?； V中数乘“o”：koa?ak,k?Ra?R?。 则R?为R上线性空间
四、简单性质 1．V中零向量唯一。
2．V中每个向量的负向量唯一。 记V中?的负向量为??。 定义 可如下在V中定义减法：
??????(??),?,??V。
3．0??0;k0?0,(?1)????。 4．若k??0，则k?0，或??0。 5．若?????，则?????。
6．(k1?L?kn)??k1??L?kn?，k(?1?L??n)?k?1?L?k?n。 【教师解读】
线性空间是一个代数系统，是从众多实际问题中抽象出来的，代数学的一个主要任务就是研究各种代数系统，并将研究结果用于具体问题。
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? 拓展资料
1. 按线性空间的定义验证全体正实数作成的集合R?对如下定义的加法运算与数乘运算构成R上线性空间：
a?b?abkoa?ak。
2．在数域P上的线性空间V中等式
(k?l)??k??l?
的两端的“+”有何异同？
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? 讨论交流
讨论主题：举例讨论线性空间中零向量在具体线性空间中的具体表现。 教师提示：回顾零向量的定义与特点。
6.2 线性空间的定义与简单性质
