平面
【知识梳理】
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 4．平面的基本性质 公理 内容 如果一条直线上的两点在一公理1 个平面内，那么这条直线在此平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果两个不重合的平面有一公理3 个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图形 符号 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α A，B，C三点不共线?存在唯一的α使A，B，C∈α P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l 【常考题型】 题型一、文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【例1】 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC. [解] (1)点P∈直线AB； (2)点C ?直线AB；
(3)点M∈平面AC；(4)点A1?平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB?平面AC； (7)平面A1B∩平面AC＝直线AB. 【类题通法】
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 【对点训练】
1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1)；
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)； (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3)．
题型二、点、线共面问题
【例2】 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． [解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
证法1：(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2?α，∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内． 证法2：(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2?α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内． 【类题通法】
证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”． 【对点训练】
2．下列说法正确的是( )
①任意三点确定一个平面 ②圆上的三点确定一个平面 ③任意四点确定一个平面 ④两条平行线确定一个平面
高中数学必修2立体几何常考题型：平面全面版
