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2.2.2 事件的相互独立性
课时过关·能力提升
基础巩固
1.若A与B是相互独立事件,则下面不是相互独立事件的是( )
A.A与 C 与B 答案:A 2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为 ( ) A.1-a-b C.(1-a)(1-b) 答案:C 3.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
B.1-ab D.1-(1-a)(1-b) B.A与 D 与
解析:A与 是对立事件.
解析:设A表示“第一道工序的产品为正品”,B表示“第二道工序的产品为正品”,且P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).
A
B
C
D
解析:左边圆盘指针落在奇数区域的概率为 ,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,则两个指针同时落在奇数区域的概率为 答案:A 4.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为( ) A.pq C.p+q-pq 答案:D 5.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为( ) A C ※ 推 荐 ※ 下 载 ※
B.p+q D.p+q-2pq
解析:恰有一株成活的概率为p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq.
B D
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解析:由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为
在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为
答案:C 6.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98. 答案:0.98
7.从甲袋中摸出1个红球的概率是 ,从乙袋中摸出1个红球的概率是 ,从两袋内各摸出1个球,则 (1)2个球不都是红球的概率为 . (2)2个球都是红球的概率为 . (3)至少有1个红球的概率为 . (4)2个球中恰好有1个红球的概率为 . 解析:(1),(2),(3),(4)中的事件依次记为A,B,C,D,
则P(A)=1- ; P(B)= ;
P(C)=1- - - ; P(D)= - -
答案:(1) (2) (3) (4) 8.某人有8把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.一天该人醉酒回家,每次从8把钥匙中随便拿一把开门,试用后又不加记号放回,则该人第三次打开家门的概率是 .
解析:由已知每次打开家门的概率为,则该人第三次打开家门的概率为 - -
答案: 9.某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得300分的概率; (2)求这名同学至少得300分的概率.
解:设事件A为“答对第一题”,事件B为“答对第二题”,事件C为“答对第三题”,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.6.
(1)这名同学得300分这一事件可表示为(A C)∪( BC),则P((A C)∪( BC))=P(A C)+P( BC)=0.8×(1-0.7)×0.6+(1-0.8)×0.7×0.6=0.228.
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(2)这名同学至少得300分包括得300分或400分,该事件表示为(A C)∪( BC)∪(ABC),则P((A C)∪( BC)∪(ABC))=P(A C)+P( BC)+P(ABC)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.
10.甲、乙、丙三名大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为 ,且各自能否被选中相互之间没有影响.
(1)求三人都被选中的概率; (2)求只有两人被选中的概率.
解:记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)= ,P(B)= ,P(C)=
(1)∵A,B,C是相互独立事件,∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= (2)三种情形:
①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P( BC)=P( )P(B)P(C)= - ②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为
P(A C)=P(A)P( )P(C)= -
③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(AB )=P(A)P(B)P( )= -
以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P2=
能力提升
1.袋内有除颜色外其他均相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是( ) A.A与B,A与C均相互独立 B.A与B相互独立,A与C互斥 C.A与B,A与C均互斥 D.A与B互斥,A与C相互独立
解析:由于摸球是有放回的,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥. 答案:A 2.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为 ,身体关节构造合格的概率为 从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( ) A
B
C
D
解析:这两项都不合格的概率是 - - ,则至少有一项合格的概率是1- 答案:D ※ 推 荐 ※ 下 载 ※
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3.荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图.假设现在青蛙在X荷叶上,则跳三次之后停在X荷叶上的概率是( ) A
B
C
D
解析:由题知逆时针跳一次的概率为 ,顺时针跳一次的概率为 则逆时针跳三次停在X上的概率为P1= ,顺时针跳三次停在X上的概率为P2= 所以跳三次之后停在X上的概率为P=P1+P2= 答案:A 4.
在电路图中(如图),开关a,b,c闭合与断开的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ) A C
B D
解析:设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪AB A C,且A,B,C相互独立,ABC,AB ,A C互斥,则P(E)=P((ABC)∪(AB )∪
(A C))=P(ABC)+P(AB )+P(A C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P(C)= -
- 答案:B 5.设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为 ,A发生B不发生的概率等于B发生A不发生的概率,则事件A发生的概率P(A)是 . 解析:由已知可得
- -
- -
解得P(A)=P(B)= 答案: ※ 推 荐 ※ 下 载 ※
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6.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A;“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B,则P(A|B)的值是 .
解析:从这20名学生中随机抽取一人,基本事件总数为20个.事件A包含的基本事件有10个,故P(A)= ;
事件B包含的基本事件有9个,P(B)= ,事件AB包含的基本事件有5个, 故P(AB)=,故P(A|B)=答案: ★7.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是 ,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为 ;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为 记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. (1)求P2的值;
(2)当n∈N,n≥2时,求用Pn-1表示Pn的表达式. 解:(1)P2=
(2)Pn=Pn-1 +(1-Pn-1) =-Pn-1+(n∈N,n≥2).
★8.甲、乙二人进行一次围棋比赛,一共赛5局,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,同时比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局. (1)求再赛2局结束这次比赛的概率; (2)求甲获得这次比赛胜利的概率. 解:记Ai表示事件“第i局甲获胜”,i=3,4,5,
Bj表示事件“第j局乙获胜”,j=3,4,5. (1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”. A=(A3A4)∪(B3B4).
由于各局比赛结果相互独立, 故P(A)=P((A3A4)∪(B3B4)) =P(A3A4)+P(B3B4) ※ 推 荐 ※ 下 载 ※
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=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4) =0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.
(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”.
因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5),由于各局比赛结果相互独立,故
P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.
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（部编版）2020新版高中数学人教A版选修2-3习题：第二章随机变量及其分布 2.2.2 含解析
