2021年中考数学热点专题复习：例析反比例函数的四个模型
及其应用
近年来各省市中考都有考查反比例函数的难题，一般都放在选择题最后一题或填空题最后两个题的位置，属于中档偏上的题型.由于此类型的题目不仅要考察反比例函数的相关性质，而且常与其它几何图形相互结合考察几何图形特征，因此考察面较广又比较复杂，学生常常找不到解题突破口.笔者认为，这类题型解题方法是有章可循的.解决反比例函数的常用方法有:关键点法、模型法、设而不解法、面积不变性等.其中模型法的应用常常能让问题简单化，甚至能直接看出答案.
一、反比例函数的四个模型(证明略) 模型1 (1)S矩形ABOC?k;
(2) S?ACO?S?ABO?S?ACN?S?OBM?
图1 图2
模型2 S?ABO?S梯形AMNB
(1) (2)
图3
模型3 AM?BN. 模型4 AM//BN.
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k. 2
图4
注 以上四个模型中点A、B都是反比例函数上的任一点. 二、模型的应用
例1 如图5，一次函数y?ax?b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y?k的图象交于C、D两点，过C、D两点分别作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，x连接CF,DE.有下列四个结论:
①?DEF与?CEF的面积相等; ②?AOB∽?FOE; ③?DCE≌?CDF; ④AC?BD.
其中正确的结论是 (填写序号).
图5
解析 此题主要考察模型1 ,3. 对结论①，
S?DEF?kk,S?CEF?,?S?DEF?S?CEF,?①正确; 22对结论②，
S?DEF?S?CEF，且两三角形同底，?两三角形EF边上的高相等，
?AB∥EF,??AOB∽?FOE,?②正确;
结论③中，找不到全等条件，?③错误；
对于结论④，直接运用模型3可得AC?DB,?④正确.
例2 已知反比例函数y?k(k?0)的图象与一次函数y??x?6相交与第一象限的xA、B两点，如图6所示，过A、B两点分别作x、y轴的垂线，线段AC、BD相交与P.
给出以下结论: ①OA?OB;
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②?OAM∽?OBN;
③若?ABP的面积是8，则k?5;
④P点一定在直线y?x上.
其中正确的结论是 (填写序号).
图6
解析 对于结论①，先求出直线y??x?6与两坐标轴的交点坐标，可得出?OEF是等腰直角三角形，由模型3可得AE?BF，即?OAE≌?OBF，所以OA?OB，故①正确;
对于结论②，AM?OE, BN?OF，且由①?AOM??BON，知?OAM∽
?OBN，故②正确;
对于③，设A(x,6一x)，则B(6一x,x)，P(x,6一2x).再由三角形的面积公式求出x的值，故可得出A点坐标.再根据点A在反比例函数的图象上即可求出反比例函数的解析式.故③正确;
对于④，由②得AM?BN，所以PD?PC.又因为AC?OF,BD?OE，所以点P在线段AB的垂直平分线上，所以点P在直线y?x上，故④正确. 例3 如图7，反比例函数y?点，若E是AB的中点，S
图7
解析 由模型4，可得EF//AC，所以?BEF∽?BAC. 又因为E是AB的中点，S?BEF?BEFk(k?0)的图象与矩形ABCO的两边相交于E、F两x?2，则k的值为 .
?2,
即S?BEF:S?BAC?1:4,S矩形AOCB?16,
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所以S矩形AOME?k?1S矩形AOCB?8 , 2 即k?8.
例4 (2013年重庆中考题)如图8，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重
k(k?0)的图象与正方形的两边AB、xBC分别交于点M、N,ND?x轴，垂足为D，连结OM、ON、MN.下列结论: ①?OAM≌?OCN;
②四边形DAMN与?MON面积相等;
合，顶点A、反比例函数y?C分别在x轴、y轴上，
③若?MON?45?,MN?2，则点C的坐标为(0,2+1). 其中正确的结论是 (填写序号)
图8
解析 对于①，由模型1可得S?ONC?S?OMA?
k, 而OC?OA，则NC?AM; 2 再根据“SAS”可判断?OCN≌?OAM,故①正确; 对于②，由模型2可得S四边形DAMN?S?OMN,故②正确;
对于③，作NE?OM于E点，则?ONE为等腰直角三角形.设NE?x，则
OM?ON?2x,EM?2x?x?(2?1)x.
在Rt?NEM中，利用勾股定理，可求出x?2?2, 22 所以ON?(2x)?4?22. 2 易得?BMN为等腰直角三角形，得到BN? 设正方形ABCO的边长为a，
2MN?2. 2 在Rt?OCN中，利用勾股定理，可求出a的值为2?1, 从而得到C点坐标为(0,2+1).故③正确.
总之，利用反比例函数的以上4个模型，是处理反比例函数问题的重要方法之一，我们在教学中应该重视这些几何模型的掌握和应用.
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2021年中考数学热点专题复习：例析反比例函数的四个模型及其应用
