点到直线的距离公式的七种推导方法
湖南省 黄爱民 赵长春
已知点 P(x0,y0)直线l:Ax?By?C?0(A?0,B?0)求点P到直线 l的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法
证：根据定义，点P到直线 l的距离是点P到直线 l的垂线段的长，如图1， 设点P到直线l的垂线为 l'，垂足为Q，由 l'?l可知 l'的斜率为
'?l的方程：y?y0?BA
yPlBA(x?x0)与l联立方程组
Ql'解得交点Q(2Bx0?ABy0?ACA?BA?B22222,Ay0?ABx0?BCA?B222x)
22图122|PQ|?(22Bx0?ABy0?AC?x0)?(2Ay0?ABx0?BCA?B22?y0)2?(??Ax0?ABy0?ACA?B222222)?(22?By0?ABx0?BCA?B(A?B)2222)2A(Ax0?By0?C)(A?B)22?B(Ax0?By0?C)?(Ax0?By0?C)A?B222?PQ|?|Ax0?By0?C|A?B2
二、 函数法 证：点P到直线 l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。在l上取任意点 Q(x,y)用两点的距离公式有，为了利用条件Ax?By?C?0上式变形一下，配凑系数处理得：
(A?B)[(x?x0)?(y?y0)]?A(x?x0)?B(y?y0)?A(y?y0)?B(x?x0)?[A(x?x0)?B(y?y0)]?[A(y?y0)?B(x?x0)]2222222222222222
?[A(x?x0)?B(y?y0)]?(Ax0?By0?C)(?Ax?By?C?0)(x?x0)?(y?y0)?22|Ax0?By0?C|A?B22当且仅当A(y?y0)?B（x?x0）时取等号所以最小值就是d?|Ax0?By0?C|A?B22
三、不等式法
证：点P到直线 l上任意一点Q(x,y)的距离的最小值就是点P到直线l的距离。由柯西不
222222等式：(A?B)[(x?x0)?(y?y0)]?[A(x?x0)?B(y?y0)]?(Ax0?By0?C)
?Ax?By?C?0,?(x?x0)?(y?y0)?22|Ax0?By0?C|A?B22
当且仅当A(y?y0)?B（x?x0）时取等号所以最小值就是d?四、转化法
证：设直线 l的倾斜角为 ?过点P作PM∥ y轴交l于M
y|Ax0?By0?C|A?BPM22
lylPQxQMx图2图3(x1,y1)显然x1?x0所以y1??Ax0?Cb ?|PM?||y?0Ax0?CB?||A0x?BB0?y
C|易得∠MPQ＝ ?（图2）或∠MPQ＝1800??（图3） 在
两
种
情
11?tan?|PQ|?|PM|cos?MPQ?|2况
?下
|B|都
有
tan?MPQ?tan??22AB22所以
cos?MPQ?A?BAx0?By0?CB22||B|A?B22?|Ax0?By0?C|A?B22
五、三角形法
证：P作PM∥ y轴交l于M，过点P作PN∥ x轴交l于N（图4） 由解法三知|PM|?|Ax0?By0?CB|；同理得 |PN|?|Ax0?By0?CA|
lyPNQM在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高
|Ax0?By0?C||PM|?|PN| ?|PQ|??2222|PM|?|PN|A?B六、参数方程法
x图4?x?x0?tcos?证：过点P(x0,y0)作直线 l':?交直线l于点Q。(如图1)
?y?y0?tsin?由直线参数方程的几何意义知|t|?|PQ|，将 l'代入
Ax0?Atcos??By0?Btsin??C?0
Ax0?By0?C
l得
整理后得 |t|?|?Acos??Bsin?当 l'?l时，我们讨论 ?与 l的倾斜角?的关系：
A当 ?为锐角时 （tan????0,不妨令A>0,B<0）有??900??（图2）
Btan?BAcos???sin???????222221?tan?A?BA?B|...........(1)
sin??cos??11?tan?2??AB|B|A?B22??BA?B22
当 ?为钝角时 （tan????0,不妨令A>0,B>0）有????90（图3）
0得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
|Ax0?By0?C||Ax0?By0?C| |t|??2222ABA?B|?|A?B22yPQA?B22七、向量法
证：如图五，设直线l:Ax?By?C?0(A?0,B?0)的一个法向量
?????Bn?(1,)，Q直线上任意一点，则PQ?(x1?x0,y1?y0)。从而点P到直
Al?n x图五 线的距离为：
B?????|x1?x0?(y1?y0)||A(x1?x0)?B(y1?y0)||n?PQ|A?d???222|n|BA?B1?2A?P点在直线l上,?Ax1?By1?C?0,从而d?|Ax1?By1?Ax0?By0|A?B22?|Ax0?By0?C|A?B22附：
方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为
BAyRQoSlxdP(x0,y0)（A≠0），根据点斜式
写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的
坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d 王新敞方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都
相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1,y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2)，
?A1x1?By0?C?0?By0?C?Ax0?C由?得x1?. ,y2?Ax?By?C?0AB02?所以，｜PＲ｜＝｜x0?x1｜＝
Ax0?By0?CA
｜PS｜＝｜y0?y2｜＝
Ax0?By0?CB
｜ＲS｜＝PR2?PS2?A?BAB22×｜Ax0?By0?C｜由三角形面积公式可知：
d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜ 王新敞所以d?Ax0?By0?CA?B22
可证明，当A=0时仍适用 王新敞
点到直线的距离公式的七种推导方法
