（1）当
a3?取最小值时，求C1和C2的方程； 2b（2）若?PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当?MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程． 21．已知函数f?x??（1）若直线y?x?alnx，其中a为常数． e2x是曲线y?f?x?的一条切线，求实数a的值； elnx?b在?1,???上有两个零点．求实数b 的取值范x（2）当a??1时，若函数g?x??f?x??围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
?x＝?2?t，xOy在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为?（t为参数），曲线C1:y?1?x2.以
?y＝1＋tπ??坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??42sin??-?.
?4?（1）若直线l与x,y轴的交点分别为A,B，点P在C1上，求BA?BP的取值范围； （2）若直线l与C2交于M,N两点，点Q的直角坐标为??2,1?，求||QM|?|QN||的值. 23. [选修4–5：不等式选讲]
已知函数f?x??2x?2x?3?m,m?R． （1）当m??2时，求不等式f?x??3的解集；
（2）若?x????,0?，都有f?x??x?2恒成立，求m的取值范围．
xuuuruuur理科数学试卷 第6页 (共6页)
绝密★启用前 【考试时间：2020年4月24日下午15∶00～17∶00】
湖南湖北四校2020届高三学情调研联考
理科数学试题参考答案及解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 选项 1 B 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 B 8 D 9 C 10 B 11 A 12 D 1、B.【解析】由题意得，P?[0,4]，Q?(?3,3)，∴PUQ?(?3,4]，故选B. 2、C【解析】设x?a?bi,y?a?bi，代入得?2a??3?a2?b2?i?4?6i，所以
2?2a?2?4,3?a2?b2??6，解得a?1,b?1，所以x?y?22.
31x?x，设落在小正223、B解析：设大正方体的边长为x,则小正方体的边长为2?31?x?x??2?方形内的米粒数大约为N，则?2???N，解得：N?27. x22003313
????? ????? =????? ????? ?????? ???? ， ????? =????? 4、 A????=????? ????+?????????+4????????+4(????????) =4????? ????+4?????【解析】
1
3
??
1
所以??=4,??=4，从而求得??=3.
5、D解析：①函数f(x)是偶函数，∴f?x?＝f(－x)在R上恒成立，∴m＝0，∴当x?0时，易得f?x??2?1为增函数，∴a＝f?log0.53?＝f?log23?，b＝f?log25?，c＝f?2?，∵
xlog23?2?log25，∴a?c?b
6、C由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P?ABC， 故AC?1，PA?2，BC?PC?5，AB?22，PB?23，
理数答案 第1页，总12页
111S?ABC?S?PAC??2?1?1S?PAB??2?22?22S?PBC??23?2?6222∴，，，
∴该多面体的侧面最大面积为22．故选C．
7、B解析：双曲线C左支上的任意一点M均满足MF2?MN?4b， 即?MF2?MN?min?4b， 3b2又MF2?MN?2a?MF1?MN?2a?NF2?2a? 2a3b2∴2a??4b?4a2?3b2?8ab 2ababb2?3??4?8?0??2或? abaa3b213∴e?1?2,e>5或1?N< 3a2 8、D【解析】由条件可得可行域，如图所示，
由{y?x?aa? ,得A?，?.因为直线x?y?a?0与
x?y?a?0?22?直线y?x垂直，所以只需圆心到A的距离小于等于1满足题意即可，即
?a??a??3?????3??1，解得6?2?a?6?2，当a?6?2时恒存在点满足?2??2?22题意，故实数a的取值范围??6?2,??
?理数答案 第2页，总12页
39 、C【解析】QacosB?bcosA?c∴由正弦定理，得
53 sinAcosB?sinBcosA?sinC，5 ，，∴QC???（A?B）?sinC?sin（A?B）3 sinAcosB?sinBcosA?（sinAcosB?cosAsinB），5整理，得sinAcosB?4sinBcosA，同除以cosAcosB， 得tanA?4tanB ，由此可得
tanA?tanB3tanB3 QA、B 是三角形内角，tan（A?B）???，11?tanAtanB1?4tan2B?4tanBtanB且tanA与tanB同号，?A、B 都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，
Q11?4tanB?2?4tanB?4 tanBtanB3?，1 ?4tanB4tanB3tan（A?B）?当且仅当1，即 的最大值为3． （A?B）1 时， tan?4tanBtanB?tanB2410
、
B
解
析
：
∵
π???xπ??2cos2????1?cos??x???1?sin?x2??24??，
f(x)?sin?x?1?sin?x??sin2?x?sin?x.
令?x?0?ππ2kπ?2kπ可得x??，∵f(x)在区间?0,π?上恰好取得一次最大值，∴22??π1?π解得??. 2?2πππ2kππ2kπ?2π5π???x??令??2kπ??x??2kπ,解得：?，∵f(x)在区间??,?上
222??2???36?是增函数，
π?2π????313?32?,解得??.综上,???.故选：B. ∴?255?5π???3?5?6理数答案 第3页，总12页
?y2?4x211、答案：A解析：将直线l与抛物线C联立?，得?x?1??x?y?1?0，即直
?x?y?1?02).又P是直线l上点，当点P为切点(1,2)时，Q(0,1).线l与抛物线C相切，且切点为(1,0)，此时△PQF为直角三角形，且外接圆的半径为1，故圆的面积为π.当点P不为又F(1,2)时，设点P(x0,x0?1)，切线斜率为k，则切线方程为y??x0?1??k?x?x0?，即切点(1,2??y?4xkx?y?kx0?x0?1?0.将切线方程与抛物线方程联立?，得
??kx?y?kx0?x0?1?01ky2?y?kx0?x0?1?0，其中???k?1??kx0?1??0，则kPQ?k?.此时切线方程化简得
x041y?x?x0，则点Q(0,x0)，可得kFQ??x0.又kPQ?kFQ??1，所以△PQF为直角三角形.设
x0?1?x01?x0?,△PQF的外接圆的半径为r，PF的中点为M??，且点M为外接圆的圆心，则22??22x0?1x0?1?1?x0??1?x0?2r?MQ??π，当，所以△PQF外接圆的面积为πr??????22?2??2?2222x0?0时，面积取到最小值为
ππ，综上，△PQF外接圆面积的最小值为. 2212、D解析：设焊接的三棱锥形铁架如图所示，取AB的中点D,连接SD,CD.
a21a2由题设条件易知AB?平面SCD,且SD?CD?4?，则△SCD的面积为a?4?,三
42211a212a2?a?a4?棱锥的体积V??a?4?，0?a?22，令322621t111a2?t,t?(0,8),则V?t4??4t2?t3.令f(x)?4t2?t3,t?(0,8),
6262233则f?(t)?8t?t2?t(8?t).
22令f?(t)?0得t?161616，且t?(0,)时，f?(t)?0，f(t)单调递增，t?(0,)333164时，f?(t)?0，f(t)单调递减，所以f(t)max?f()?162?，则V的最
327大值为1412163162???16??,故此三棱锥体积的取值范围是62762733理数答案 第4页，总12页
湖南湖北四校2020届高三学情调研联考理科数学试题卷（含解析）
