新人教选修4-4教案极坐标系--简单曲线的极坐标方程

由天下分享时间：2025/3/28 15:31:56 加入收藏我要投稿点赞

三、简单曲线的极坐标方程【基础知识导学】

1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程f(?,?)?0，并且坐标适合方程f(?,?)?0的点都在曲线C上，那么方程

f(?,?)?0叫做曲线C的极坐标方程。

1．直线与圆的极坐标方程

O ① 过极点，与极轴成?角的直线

极坐标议程为

???(??R)或tan??tan?

②以极点为圆心半径等于r的圆的

极坐标方程为 ??r

【知识迷航指南】例1求（1）过点A(2,（2）过点A(3,?4)平行于极轴的直线。

3?角的直线。 4?3)且和极轴成

解（1）如图，在直线l上任取一点M(?,?)，因为A(2,在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin?即?sin??为?sin???4)，所以|MH|=2?sin?4?2

2，所以过点A(2,)平行于极轴的直线

4?2。

（2）如图，设M(?,?)为直线l上一点。

A(3,?3)， OA=3，?AOB??3

5?7?3??5?由已知?MBx?3? ，所以?OAB?，所以?OAM??? ???431212124又?OMA??MBx???3??? 在?MOA中，根据正弦定理得 43? ?3?7?sin(??)sin412又sin7???6?23333? 将sin(?sin(?)?? ??)展开化简可得?(sin??cos?)?12434224所以过A(3,)且和极轴成

?33333?角的直线为：?(sin??cos?)??

224

〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。

例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O作圆C的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程。

解：（1）设p(?,?)为圆C上任意一点。圆C交极轴于另一点A。由已知 OA=8 在直角?AOD中OD?OAcos?，即 ??8cos?，这就是圆C的方程。

（2）由r?OC?4。连接CM。因为M为弦ON的中点。所以CM?ON，故M在以OC为直径的圆上。所以，动点M的轨迹方程是：??4cos?。

〔点评〕在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。（1）y2?4x （2）???3 （3）?cos2?2?1 （4）?2cos2??4

解：（1）将x??cos?,y??sin?代入y2?4x得(?sin?)2?4?cos?化简得

?sin2??4sin?

y?y ∴ tan??3 化简得：y?3x(x?0) x3x?1?cos?（3）∵?cos2?1 ∴ ??1。即???cos??2 所以

22（2）∵tan??化简得 y2??4(x?1)。

（4）由?2cos2??4 即?2(cos2??sin2?)?4 所以 x2?y2?4

〔点评〕（1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。

（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定??0,0???2? （3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性。如本例（2）中。由于

x2?y2?x?2。

一般约定??0.故??〔解题能力测试〕 1 判断点(??3表示射线。若将题目改为???3(??R) 则方程化为：y?3x

15??,)是否在曲线??cos上。 2322．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。（1）y2?x2?2x?1?0；

（2）??1。

2?cos?