三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】
1、极坐标方程的定义:在极坐标系中,如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程f(?,?)?0,并且坐标适合方程f(?,?)?0的点都在曲线C上,那么方程
f(?,?)?0叫做曲线C的极坐标方程。
1. 直线与圆的极坐标方程
O ① 过极点,与极轴成?角的直线
x
极坐标议程为
???(??R)或tan??tan?
②以极点为圆心半径等于r的圆的
极坐标方程为 ??r
【知识迷航指南】 例1求(1)过点A(2,(2)过点A(3,?4)平行于极轴的直线。
3?角的直线。 4?3)且和极轴成
解(1)如图,在直线l上任取一点M(?,?),因为A(2,在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin?即?sin??为?sin???4),所以|MH|=2?sin?4?2
2,所以过点A(2,)平行于极轴的直线
4?2。
(2)如图 ,设M(?,?)为直线l上一点。
A(3,?3), OA=3,?AOB??3
5?7?3??5?由已知?MBx?3? ,所以?OAB?,所以?OAM??? ???431212124又?OMA??MBx???3??? 在?MOA中,根据正弦定理得 43? ?3?7?sin(??)sin412又sin7???6?23333? 将sin(?sin(?)?? ??)展开化简可得?(sin??cos?)?12434224所以过A(3,)且和极轴成
?33333?角的直线为:?(sin??cos?)??
224
〔点评〕求曲线方程,关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。
例2(1)求以C(4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程。(2)从极点O作圆C的弦ON,求ON的中点M的轨迹方程。
解:(1)设p(?,?)为圆C上任意一点。圆C交极轴于另一点A。由已知 OA=8 在直角?AOD中OD?OAcos?,即 ??8cos?, 这就是圆C的方程。
(2)由r?OC?4。连接CM。因为M为弦ON的中点。所以CM?ON,故M在以OC为直径的圆上。所以,动点M的轨迹方程是:??4cos?。
〔点评〕 在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直译法,定义法,动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中(1)为直译法,(2)为定义法。此外(2)还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。 例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 (1)y2?4x (2)???3 (3)?cos2?2?1 (4)?2cos2??4
解:(1)将x??cos?,y??sin?代入y2?4x得(?sin?)2?4?cos?化简得
?sin2??4sin?
y?y ∴ tan??3 化简得:y?3x(x?0) x3x?1?cos?(3)∵?cos2?1 ∴ ??1。即???cos??2 所以
22(2)∵tan??化简得 y2??4(x?1)。
(4)由?2cos2??4 即?2(cos2??sin2?)?4 所以 x2?y2?4
〔点评〕 (1)注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。
(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定??0,0???2? (3)由极坐标方程化为极坐标方程时,要注意等价性。如本例(2)中。由于
x2?y2?x?2。
一般约定??0.故??〔解题能力测试〕 1 判断点(??3表示射线。若将题目改为???3(??R) 则方程化为:y?3x
15??,)是否在曲线??cos上。 2322.将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 (1)y2?x2?2x?1?0;
(2)??1。
2?cos?
3.下列方程各表示什么曲线?
(1)y?a: 。 (2)??a: 。
(3)???: 。
〔潜能强化训练〕
1 极坐标方程分别是??cos?和??sin?的两个圆的圆心距是( ) A 2 B
2 C 1 D
2 22 在极坐标系中,点(3,?26?2?11?A (3,0) B (3,) C (?3,) D (3,)
2363在极坐标系中,过点(3,A ?cos??)关于???(??R)的对称的点的坐标为 ( )
?3)且垂直于极轴的直线方程为( )
3333 B ?sin?? C ??cos? D ??sin?
22222(??0) 表示的曲线是 ( ) 24 极坐标方程 cos??A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线 5 已知直线的极坐标方程为 ?sin(??6 圆???4)?2,则极点到该直线的距离是: 。 22(cos??sin?)的圆心坐标是: 。
7 从原点O引直线交直线2x?4y?1?0于点M,P为OM上一点,已知ODOM?1。 求P点的轨迹并将其化为极坐标方程。
新人教选修4-4教案极坐标系--简单曲线的极坐标方程



