行列式的几种常见计算技巧和方法
2.1 定义法
适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．
0001002003004000例1 计算行列式.
解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！?24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4．显然，如果j1?4，那么a1j1?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j1?4的项，同理只须考虑
j2?3,j3?2,j4?1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有
a14a23a32a41，而??4321??6，所以此项取正号．故
0001002003004000=??1???4321?a14a23a32a41?24.
2.2 利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
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a11a12a130a22a2300a33???000a1100a21a220a31a32a33???an1an2an3??????????a1na2na3n?a11a22?ann，?ann000?a11a22?ann. ?ann1例2 计算行列式Dn?1?a1a2?a2???a2?anan. ?an?bn1a1?b1??1a1解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的??1?倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．
解：将该行列式第一行的??1?倍分别加到第2,3…（n?1）行上去，可得
Dn?1?1a1a2K0b100MMMO000Kan0Mbn?b1b2Kbn.
2.2.2 连加法
这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．
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x1?m例3 计算行列式Dn?x2?xnxn. ?xn?mx1?x1x2?m???x2?xnxn?xn?m??x解： Dn?ni?mx2?xi?1ni?1ni?mx2?m??x2???m
?i?xi?11x2?xnxn?xn?mxn0??m?n?1x2?m????xi?m????i?1??1x2?1x2??n?0?m????xi?m??i?1????00????m?n?1?n???xi?m?. ?i?1?2.2.3 滚动消去法
当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．
12例4 计算行列式Dn?3212321???n?1nn?2n?1n?3n?2?n?2?. ?2?1????nn?1n?2?解：从最后一行开始每行减去上一行，有
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123?n?1?1?1?100?1n123?n?100?1n?2?2 ??11?1?1?Dn?11?1???11??1??1200??1?220???100?0????111?123?100??2n?2110?????111?2.2.4 逐行相加减
n?1n?1???1?n?1?n?1?2n?2.
对于有些行列式，虽然前n行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．
?a100例5 计算行列式D??01?a10D?0?010?a20?022n?2a1?a20?01000??ann000a2??000??an1000. ?an1?a3???01??解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：
00???a3???03??0 ?0n?1???1???1?n?n?1?a1a2?an???1?n?n?1?a1a2?an.
2.3 降阶法
将高阶行列式化为低阶行列式再求解．
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2.3.1 按某一行（或列）展开
x00?0an?1x0?0an?10?1x0????000?xa2000??1a1例6 解行列式Dn???an?2?.
解：按最后一行展开，得
Dn?a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an.
2.3.2 按拉普拉斯公式展开
拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了k?1?k?n-1?个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即
D?M1A1?M2A2???MnAn，其中Ai是子式Mi对应的代数余子式．
即
AnnCnnAnn00?Ann?Bnn， BnnCnnBnn?Ann?Bnn.
?b例7 解行列式Dn?baaa???a????????.
??????b?????解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加
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行列式的计算技巧与方法总结
