导数零点不可求的四种破解策略
在导数试题中,经常碰到导函数零点不可求的情况.对于此类试题,往往要绕开具体的零点值,转而判断导函数在给定区间上的单调性,再想办法证明导函数的零点存在.如何证明导函数的零点存在?笔者在长期的教学实践中总结了四种方法,现说明如下.
法一:利用零点存在性定理
零点存在性定理:如果函数f?x?在区间?a，b?上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f?a??f?b??0,那么函数f?x?在区间?a，b?内有零点,即存在x0??a，b?,使得f?x0??0.进一步,若f?x?在区间?a，b?内有具有单调性,则函
数f?x?在区间?a，b?内有唯一的零点.在实际解题中,经常先判断出f/?x?在给定区间上的单调性(可以通过求二阶导或者直接观察导函数解析式进行判断),然后在给定区间内取两个特殊值,计算出相应的f/?x?,与零比较大小,再利用零点存在性定理得出f/?x?在给定的区间上存在唯一的零点. 例1.已知函数f?x??x2ex?lnx,证明:当x?0时,不等式f?x??1.
1/x证明:f?x??x?x?2?e?,x?0.
x1//2x???上单调递增. 由f?x???x?4x?2?e?2?0,得f/?x?在?0，x111915????又f/??=e4?4?0,f/??=e2?2?0,
?4?16?2?4?11?根据零点存在定理可知,存在x0??，?,使得f/?x0??0.
?42?当x??0，x0?时,f/?x??0,f?x?在?0，x0?上单调递减; ???时,f/?x??0,f?x?在?x0，???上单调递增. 当x??x0，故f?x?min?f?x0?=x02ex0?lnx0.
11x01x0x0/由f?x0??0得x0?x0?2?e??0,即x0?x0?2?e?,e?2.
x0x0x0?x0?2?1?11?2x0故f?x0?=x0e?lnx0=?lnx0,其中x0??，?.
x0?2?42?3
1?11?令g?x?=?lnx,x??，?.
x?2?42?11?11?/由g?x?=???0得g?x?在x??，?上单调递减. 2?42??x?2?x1?1?2故g?x??g??=?ln?1,即f?x0??1.
2?2?5综上,有f?x?min?1,则当x?0时,不等式f?x??1.
1评析:要证f?x??1,等价于证f?x?min?1.导函数f?x??x?x?2?e?,其零点
x无法求出.借助f//?x??0判断出f/?x?的单调性,结合零点存在性定理得出
/x?11?f?x?存在唯一的零点x0且x0??，?.另一方面,x0将?0，???分成两个区间,分
?42?1x0/别考查f?x?在这两个区间上的单调性.借助f?x0??0得到e?2,将
x0?x0?2?指数式进行转化,从而判断出f?x?min?1.
/法二:利用函数与方程思想
函数有零点等价于相应的方程有实根,然后将方程进行适当的变形,转化为两个函数图象有交点.交点的个数就是函数零点个数.在实际解题中,通常先求出f/?x?,然后令f/?x??0,移项,转化为判断两个函数图象的交点个数.
22x例2.已知函数f?x??e?alnx .证明:当a?0时,f?x??2a?aln.
aa/2x证明:f?x??2e?,x?0.
xaa2x2x/f?x?有零点,等价于方程2e?=0有实根,等价于方程2e?有实根,等价
xxa2x于函数y?2e与函数y?图象有交点.
x
显然当a?0时,两个函数图象无交点;当a?0时,两个函数图象有一个交点; 因此,当a?0时,f/?x?无零点,当a?0时,f/?x?只有一个零点.
???上单调递增,且只有一个零点,设为x0.即f/?x0??0. 当a?0时,f/?x?在?0，当x??0，x0?时,f/?x??0,f?x?在?0，x0?上单调递减; ???时,f/?x??0,f?x?在?x0，???上单调递增. 当x??x0，3
故f?x?min?f?x0??e2x0?alnx0. 由f/?x0??0得,2e2x0aa2x0,lne2x0=lna?ln2x0,化简得??0,e=x02x0lnx0=lna?ln2?2x0.
2aa故f?x0???a?lna?ln2?2x0???2ax0?alna?2a?aln.
a2x02x022故f?x?min?2a?aln,即当a?0时,f?x??2a?aln.
aa评析:利用函数与方程思想,将判断f/?x?的零点个数问题转化为图象交点问题.
a/2x/不难得出结论:当a?0时,f?x?只有一个零点x0.对于f?x??2e?,观察其
x结构特征容易发现其在?0，???上单调递增(也可以求出二阶导进行判断).要证
22f?x??2a?aln,等价于证f?x?min?2a?aln.x0将?0，???分成两个区间,分
aa别考查f?x?在这两个区间上的单调性.借助f/?x0??0得到
a2x0,lnx0=lna?ln2?2x0,将指数式进行转化,从而得证. e=2x0法三:构造新的函数
如果导函数的解析式具有分式特征,且容易判断出分母是正数,此时往往将分子看成一个新的函数,进而对该函数进行研究从而得到相应的结论.
1?ln(x?1)k例3.已知函数f?x??,当x?0时,f?x??恒成立,求正整数k的最
xx?1大值.
x?1?[1?ln(x?1)]?解析:由已知有k?在x?0上恒成立.
xx?1?[1?ln(x?1)]?令h(x)?,x?0.只需k?h?x?min.
xx?1?ln(x?1)/h?x??, 2xx/?0得??x?在?0，???上单调递增. 令??x??x?1?ln(x?1),由??x??x?13?,使又??2?=1?ln3?0,??3?=2?ln4?0,根据零点存在定理可知,存在x0??2，得??x0??0.
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