习题十二
1．写出下列级数的一般项：
1111????L357(1)
(2)
；
xxxxx2????L22?42?4?62?4?6?8；
；
a3a5a7a9????L579(3)31Un?2n?1； 解：(1)
Un?
(2)
xn2?2n?!!；
(3)
2．求下列级数的和：
?Un???1?n?1a2n?12n?1；
(1)
??x?n?1??x?n??x?n?1?n?11；
(2)
??n?1?n?2?2n?1?n?；
111?2?3?L555(3)
；
un?1?x?n?1??x?n??x?n?1?解：(1)
111?????2??x?n?1??x?n??x?n??x?n?1???
11111????Sn??2?x?x?1??x?1??x?2??x?1??x?2??x?2??x?3?11??L???x?n?1??x?n??x?n??x?n?1???从而
111?????2?x?x?1??x?n??x?n?1???limSn?1
1因此
n??2x?x?1?，故级数的和为2x?x?1?
(2)因为
Un??n?2?n?1???n?1?n?
??5?4???4?3??L??n?2?n?1???n?1?n??n?2?n?1?1?21??1?2n?2?n?1Sn??3?2???2?1???4?3???3?2?从而
所以n??limSn?1?2，即级数的和为1?2．
111Sn??2?L?n5551??1?n?1????5??5????11?51??1?n???1????4??5??(3)因为
从而
limSn?n??114，即级数的和为4．
3．判定下列级数的敛散性：
(1)
??n?1?n?1?n?；
(2)
1111???L??L1?66?1111?16?5n?4??5n?1?；
；
n22223n?12?3?3?L???1??Ln3333(3)
1111??3?L?n?L555(4)5；
Sn??2?1???3?2??L??n?1?n?解：(1) 从而n???n?1?1，故级数发散．
limSn???1?1111111?Sn??1??????L???5?661111165n?45n?1?1?1???1??55n?1??(2)
11limSn?n??5，故原级数收敛，其和为5． 从而
2q??3的等比级数，且|q|<1，故级数收敛． (3)此级数为1Un?nUn?1?05，而limn??(4)∵，故级数发散．
4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：
(1)
??1?n?1?nn?1??； (2)
cosnx?2n； n?1?(3) n?1解：(1)当P为偶数时，
????????3n?13n?23n?3?111．
Un?1?Un?2?L?Un?p??1?n?2??1?n?3??1?n?4??1?n?p?1????L?n?1n?2n?3n?p??1111???L?n?1n?2n?3n?p1111??1??1????L?????n?p?2n?p?1?n?pn?1?n?2n?3???1?n?1当P为奇数时，
Un?1?Un?2?L?Un?p??1?n?2??1?n?3??1?n?4??1?n?p?1????L?n?1n?2n?3n?p??1111???L?n?1n?2n?3n?p11?1?1??1????L????n?p?1n?p?n?1?n?2n?3???1?n?1因而，对于任何自然数P，都有
Un?1?Un?2?L?Un?p?11?n?1n，
?1?N????1???，则当n>N时，对任何自然数P恒有Un?1?Un?2?L?Un?p??成立，由?ε>0，取
??1?n?1?n柯西审敛原理知，级数n?1?收敛．
(2)对于任意自然数P，都有
Un?1?Un?2?L?Un?pcos?n?p?xcos?n?1?xcos?n?2?x??L?2n?12n?22n?p111?n?1?n?2?L?n?p2221?1?1???2n?1?2p??11?211??n?1???2?2p?1?n2
1??log2?U?Un?2?L?Un?p?????，于是， ?ε>0(0<ε<1)，?N=?当n>N时，对任意的自然数P都有n?1?成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．
(3)取P=n，则
Un?1?Un?2?L?Un?p111111???????L????3?2n?13?2n?23?2n?3?3?n?1??13?n?1??23?n?1??3?11??L?3?n?1??13?2n?1n?6?n?1?1?12
1?0?12，则对任意的n∈N，都存在P=n所得Un?1?Un?2?L?Un?p??0，由柯西审敛原从而取
理知，原级数发散．
5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．
111??L??L????4?65?7n?3n?5(1)
1?21?31?n1???L??L2221?21?31?n(2)
πsin?n3n?1(3)
?；
?；
(4)
n?1??12?n31n；
1?n(5)n?11?a解：(1)∵
??a?0?；
(6)
??2n?1?1?．
Un?1?2而n?1n(2)∵
?11?2?n?3??n?5?n
?收敛，由比较审敛法知
?Un?1?n收敛．
Un?11?n1?n1??1?n2n?n2n
而
?nn?1发散，由比较审敛法知，原级数发散．
ππsinnn33lim?limπ??πn??n??1π3n3n(3)∵
??ππsin??nn33n?1n?1而收敛，故也收敛．
sinUn?(4)∵
12?n3??1n31?1n32
?而
n?1?1n32?收敛，故
n?12?n3收敛．
高等数学-课后习题答案第十二章
