的群称为互换群。可以证明，任何一个四阶的群必为互换群（读者可以用C2?,C2h和D2等点群为例自行验证）。在任何一个互换群中，每个对称操作必自成一个级或类。这一结论可证明如下：
设X为互换群中的任一操作，S为群中X以外的任一操作，根据互换群的性质，有： SX?XS
?1?1将上式两边左乘S，得： X?SXS
这就证明了X按S变换成的对称操作仍为X。即X自成一类。
C2?点群为4阶互换群，它的4个对称操作是：E,C2?z?,?xz,?yx。选C2?z?以外的任一
11C对称操作（例如?xz）对2?z?进行相似变换：
?11?111?xzC2?z??xz??xz?xzC2?C2?z??z??11
?100???100??100???0?10??0?10??11?xzC2?x??xz??0?10????????001????001????001?? 或
?100???100???100???010???0?10??C1??0?102?z?????????001????001????001??
?1（因为???，故可以将第一个表示矩阵右上角的－1去掉）
1C2?z?根据上述说明，
群的4个对称操作分4类。
自成一类。同理，其它3个对称操作也各自成一类。这就证明了C2?点
【4.23】用C3v群的元进行相似变换，证明6个对称操作分三类。 证明：C3?点群是6阶群，其乘法表如下：
C3?
E
1C3 C32 ?a ?a ?c ?b E C32
1C3
?b ?b ?a ?c
1C3
?c ?c ?b ?a
C32
1C3
E 1C3
C32
E 1C3
C32
1C3 C32
C32
?a ?b ?c
?a ?b ?c
E ?b
E 1C3
?c ?a ?b
?c ?a
E C32
E
相应的对称图像和对称元素系表示于图4.23。
?c?by?ax图4.23
（1） 根据乘法表可得：
E?1?aE?E?1?a??a
?1?1?a?a?a??aE??a（反映操作与其逆操作相等）
1?b?1?a?b??b?1C3??c?c?1?a?c??c?1C32??b1C3?1?aC3?C3?1?b??cC3?2?aC32?C3?2?c??b
由上题的说明可知，?a,?b,?c是相互共轭的对称操作，它们形成以?a为代表的一类。当
然，亦可借助于?b以外的任一对称操作对?b进行相似交换，或借助于?c以外的任一对称操作对?c进行相似变换，结果相同。 (2)根据乘法表得：
111111E?1C3E?E?1C3?C3,C3?1C3C3?C3?1C32?C3121?11?1C3?2C3C3?C3?2E?C3,?aC3?a??a?c?C3211?b?1C3?b??b?1?a?C32,?c?1C3?c??c?1?b?C32
2221CCCC3333根据（1）相同的理由，和共轭，形成一类。借助于以外的任一对称元素对进
行相似变换，结果相同。
（3）在任何群中，XEX?E，即主操作自成一类。
综上所述，C3?群的6个对称操作分成三类，即3个反映操作形成一类，两个旋转操作也形成一类，主操作自成一类。
【4.24】试述红外活性的判据。
解：严格意义上的红外光谱包括处在近红外区和中红外区的振动光谱及在远红外或微波区的转动光谱。但通常所说的红外光谱是指前者，而把后者称作远红外光谱。
分子在一定条件下产生红外光谱，则称该分子具有红外活性。判断分子是否具有红外活性的依据是选择定则或称选律。具体的说：
非极性双原子分子，???0,?J?0，不产生振动-转动光谱，即无红外活性。极性双原子分子，????1,?2,?3……，?J??1，产生振动-转动光谱，即有红外活性。
在多原子分子中，每一种振动方式都有一特征频率，但并非所有的振动频率都能产生
?1红外吸收从而得到红外光谱。这是因为分子的红外光谱起源于分子在振（转）动基态?a和振（转）动激发态?b之间的跃迁。可以证明，只有在跃迁过程中有偶极距变化的振（转）动（
??a??bd??0）才会产生红外光谱。偶极距改变大者，红外吸收带就强；偶极距变
化小者，吸收带弱；偶极距不变者，不出现红外吸收，即为非红外活性。
【4.25】试述Raman活性的判据。
解：Raman光谱的选律是：具有各向异性的极化率的分子会产生Raman光谱。例如H－H分子，当其电子在电场作用下沿轴方向变形大于垂直于键轴方向时，就会产生诱导偶极距，出现Raman光谱活性。
利用群论可很方便地判断分子的哪些振动具有红外活性，哪些振动具有Raman活性。判断的标准是：
（1）
若一个振动隶属的对称类型和偶极距的一个分量隶属的对称类型相同，即和
x（或y，或z）隶属的对称类型相同，则它具有红外活性。
（2）
若一个振动隶属的对称类型和极化率的一个分量隶属的对称类型相同，即一
222x,y,z,xy,xz,yz这样的二元乘积中的某一个，或者隶属于个振动隶属于
x2?y2这样的一个乘积的组合，则它就具有Raman活性。
?NH2?2CO，C60，丁CoenNO??23，【4.26】将分子或离子：，FHC?C?CHF，?NCH2?6等按下列条件进行归类：
三烯，H3BO3，4?3?（a） 既有极性又有旋光性； （b） 既无极性又无旋光性； （c） 无极性但有旋光性； （d） 有极性但无旋光性。 解：
（a） FHC=C=CHF（C2）
?NOBOH?3（C3h）NNH2?6（Td） ?D?h?,C60?Ih?,丁三烯（D2h）2（b） ，?，4?Co?en?3?D3?
（c）
NH2?CO?C2??
（d） ?
?LiCH3?4，H2C?C?C?CH2，椅式环己烷，XeOF4CH3【4.27】写出，C5H5N，4?3?等分子所属的点群。 解： 分子
点群
CH3? D3h
C5H5N C2?
#Li4?CH3?4
H2C?C?C?CH2
椅式环己烷
Td D2h D3d C4?
XeOF4##
*CH3Li
**OF
【4.28】正八面体6个顶点的原子有3个被另一个原子取代，有几种可能的方式？取代产物各属于什么点群？取代后所得产物是否具有旋光性和偶极矩？
解：只有下列两种取代方式，产物a属于C3?点群，产物b属于C2?点群。两产物皆无旋光性，而皆有偶极距。
(a)(b)
结构化学基础习题答案分子的对称性
