2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—13.坐标系与参数方程

由天下分享时间：2024/10/17 18:14:57 加入收藏我要投稿点赞

即为P到C2的距离d(?)的最小值，d(?)?当且仅当??2k??

|3cos??sin??4|2?2|sin(??)?2|.…………8分

3??31(k?Z)时，d(?)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(,).…10分 622（2015·新课标Ⅰ，23）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=?2，圆C2：?x?1???y?2??1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求C1，C2的极坐标方程；（II）若直线C3的极坐标方程为??22?4???R?，设C2与C3的交点为M,N，求?C2MN的面积.

解析：（I）因为x??cos?,y??sin?，所以C1的极坐标方程为?cos???2，C2的极坐标方程为

?2?2?cos??4?sin??4?0.

（Ⅱ）将?=?422代入??2?cos??4?sin??4?0，得??32??4?0，解得?1=22，

11?2=2，|MN|=?1－?2=2，因为C2的半径为1，则?C2MN的面积?2?1?sin45o=.

?x?tcos?（2015·新课标Ⅱ，23）在直角坐标系xOy中，曲线C1：?（t为参数，t≠0）其中0????，

y?tsin??在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:??2sin?，C3:??23cos?.

（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；

（Ⅱ）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.

2222解析：（Ⅰ）曲线C2的直角坐标方程为x?y?2y?0，曲线C3的直角坐标方程为x?y?23x?0.

?x???x?0??x?y?2y?0?联立?，解得?或?22y?0???x?y?23x?0?y???2232，所以C与C交点的直角坐标为(0,0)和

2332(33,). 22（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为???(??R,??0)，其中0????，因此A的极坐标为(2sin?,?)，

B的极坐标为(23cos?,?)，所以|AB|?|2sin??23cos?|?4|sin(??)|，当???35?时，|AB|取得最大值，最大值为4. 6?x?2?tx2y2??1，直线l：?（2014·新课标Ⅰ，23）已知曲线C：（t为参数）. 49y?2?2t?2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—13.坐标系与参数方程

(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值. 解析：.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为：??x?2cos? （?为参数），直线l的普通方程为：2x?y?6?0.

?y?3sin?54cos??3sin??6， 5（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos?,3sin?)到l的距离为d?则|PA|?d25?5sin??????6sin3005，其中?为锐角．且tan??4. 3当sin???????1时，|PA|取得最大值，最大值为225； 5当sin??????1时，|PA|取得最小值，最小值为

25. 5（2014·新课标Ⅱ，23）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极

坐标方程为??2cos?，??[0,?].

2（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y?3x?2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

22解析：（Ⅰ）设点M(x, y)是曲线C上任意一点，∵??2cos?，∴x?y?2x，

?x?1?cos?即：(x?1)?y?1，∴C的参数方程为?(?为参数，0????)．

y?sin??22（Ⅱ）设点D(1+cosφ, sinφ)，∵C在D处的切线与直线l：y?3x?2垂直，∴直线CD和l的斜率相

?3sin???sin??2，∴点D的坐标为(3,3). ?tan??3，∵0????，????，∴?同，∴

22cos?3?cos??1??2（2013·新课标Ⅰ，23）已知曲线C1的参数方程为??x?4?5cost,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的

?y?5?5sint正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解析： (1)将??x?4?5cost,消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，

?y?5?5sint即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—13.坐标系与参数方程

?x??cos?,将?代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. ?y??sin?所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

?x2?y2?8x?10y?16?0,?x?1,?x?0,由?2解得或? ?2y?2.y?1???x?y?2y?0

π??π??所以C1与C2交点的极坐标分别为?2,?，?2,?.

4??2??

?x?2cost,（2013·新课标Ⅱ，23）已知动点P，Q都在曲线C:?（t为参数）上，对应参数分别为t??与

y?2sint?t?2?(0???2?)，M为PQ的中点.

（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为?的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.

解析：（Ⅰ）依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M

的轨迹的参数方程为??x?cos??cos2?(α为参数，0＜α＜2π)．

?y?sin??sin2?（Ⅱ）M点到坐标原点的距离d?x2?y2?2?2cos?(0＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

?x?2cos?（2012·新课标Ⅰ，23）已知曲线C1的参数方程为?（?为参数），以坐标原点为极点，x轴的

?y?3sin?正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是??2。正方形ABCD的顶点都在C2上，

且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，（1)求点A，B，C，D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求|PA|?|PB|?|PC|?|PD|的取值范围。

2222?）。 3?x?2cos?x2y2??1，解析：（1）曲线C1的参数方程?化为直角坐标方程为49?y?3sin?曲线C2的极坐标方程??2化为直角坐标方程为x?y?4，因为点A的极坐标为（2，），所以点B的极坐标为（2，点D的极坐标为（2，

22?35?4?），点C的极坐标为（2，），6311?），因此点A的直角坐标为（1，3），点B的直角坐标为（?3，1）， 6点C的直角坐标为（－1，－3），点D的直角坐标为（3，－1）。

（2）设P（2cos?，3sin?），则|PA|?|PB|?|PC|?|PD|

22222011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—13.坐标系与参数方程

?(2cos??1)2?(3sin??3)2?(2cos??3)2?(3sin??1)2 ?(2cos??1)2?(3sin??3)2?(2cos??3)2?(3sin??1)2 ?(2cos??1)2?(3sin??3)2?(2cos??3)2?(3sin??1)2 ?(2cos??1)2?(3sin??3)2?(2cos??3)2?(3sin??1)2

?20sin2??32?[32,52]。

因此|PA|?|PB|?|PC|?|PD|的取值范围为[32，52]。

（2012·新课标Ⅱ，23）已知曲线C1的参数方程是?2222?x?2cos?（?为参数），以坐标原点为极点，x轴的

?y?3sin?正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,).

（Ⅰ）点A，B，C，D的直角坐标；

（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求|PA|2 + |PB|2 + |PC|2 + |PD|2的取值范围.

?3解析：（Ⅰ）依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为(2,),(2,?35?4?11?),(2,),(2,). 636所以点A，B，C，D的直角坐标分别为(1,3)、(?3,1)、(?1,?3)、(3,?1). （Ⅱ）

设

P?2cos?,3sin??，则|PA|2?|PB|2?|PC|2?|PD|2?(1?2cos?)2?(3?3sin?)2

?(?3?2cos?)2?(1?3sin?)2?(?1?2cos?)2?(?3?3sin?)2?(3?2cos?)2?(?1?3sin?)2

?16cos2??36sin2??16?32?20sin2???32,52?.

所以|PA|2?|PB|2?|PC|2?|PD|2的取值范围为?32,52?.