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福州 高考数学二轮复习专题训练:数系的扩充与复数的引入
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z=( )
A.-i B.i C.-1 D.1 【答案】A
2.复数z对应的点在第二象限,则z在( ) A. 第一象限 【答案】C
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.复数i?2 的虚部是( )
A.i B.?2 【答案】C 4.已知复数z?A.16 【答案】C
C.1 D.2
1?3i,z是z的共轭复数,则z?z等于( ) 3?iB.4
C.1
D.
1 165.若,是虚数单位,且,则在复平面内,复数所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C
6.i为虚数单位,复平面内表示复数z??i的点在( ) 2?iD.第四象限
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 【答案】C
7.复数(1+i)(1-ai)?R,则实数a等于( )
A.1 B.-1 C.0 【答案】A
8.若(1?ai)(i为虚数单位)是纯虚数,则实数a=( ) A.?1 【答案】A
B.-1
C.0
2D.±1
D.1
9.定义运算A.第一象限 【答案】A
=ad-bc,则满足
B.第二象限
=0的复数z的共轭复数所对应的点在( ) C.第三象限
D.第四象限
10.设i为虚数单位,则复数
A. ?4?3i
3?4i
=( ) i
B. ?4?3i C. ???i
D. ???i
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【答案】D
2
11.如果复数(m+i)(1+mi)是实数,则实数m=( ) A.1 【答案】B
B.-1
C.2
D.-2
12.已知复数z=-1+i,则z在复平面内对应的点在第几象限( ) A.一 【答案】C
B.二
C.三
D.四
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 1-z
13.设复数z满足=i,则|1+z|=____________
1+z【答案】2
5的共轭复数是 。 i?2【答案】?2?i
14.复数
15.已知复数z1=3+4i, z2=t+i,且z1·z2是实数,则实数t等于 . 【答案】2?1
?x?y?5≥0?16.已知实数x,y满足条件?x?y≥0,z?x?yi(i为虚数单位),则|z?1?2i|的最小值是 .
?x≤3?2 2三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
【答案】m2?m?6?(m2?2m?15)i 17. m取何值时,复数z?m?3(1)是实数; (2)是纯虚数.
【答案】(1)
?m2?2m?15?0??m?3或m??2 (2) ?m?3?0?m2?m?6?0??当m?3或m??2时,z是纯虚数.
18.(1)已知复数z?m(m?1)?(m?2m?3)i,当实数m取什么值时,复数z是: ①零; ②纯虚数; ③z?2?5i.
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(2)设复数z满足z?1,且(3?4i)?z是纯虚数,求z. 【答案】 (1) ①m=1;②m=0;③m=2 (2)z??(??453i)5
π
19.已知复数z=1-sinθ+icosθ(<θ<π),求z的共轭复数的辐角主值.
2πππ+θ+θ+θ222ππ2
【答案】z=1+cos(+θ)+isin(+θ)=2cos+2isincos 22222πππ
+θ+θ+θ222=2cos (cos+isin).
222
πππ
+θ+θ+θ222π
当<θ<π时,=-2cos (-cos+isin) 2222πθ3πθ3πθ
=-2cos(+)(cos(-)+isin(-)).
4242423πθ
∴辐角主值为-.
42
20.已知z、?为复数,(1+3i)z为实数,?=
z,且|?|?52,求?. 2?i【答案】设?=x+yi(x,y∈R),依题意得(1+3i)(2+i)?=(-1+7i)?为实数,且|?|=52,
?7x?y?0?x?1?x??1 ∴?2,解之得或?, ?2?y?7?y??7?x?y?50∴?=1+7i或?=-1-7i。
21.实数m取什么值时,复数z?m(m?1)?(m?1)i是 (1)实数? (2)纯虚数?
【答案】(1)m=1 (2)m=0
22.已知a?R,且以下命题都为真命题:
命题p: 实系数一元二次方程x2?ax?2?0的两根都是虚数; 命题q: 存在复数z同时满足z?2且z?a?1. 求实数a的取值范围.
【答案】由命题p为真,可得??a?8?0?a??22,22;
2由命题q为真,可知复平面上的圆x?y?4和圆?x?a??y?1有交点,
222??2于是由图形不难得到a???3,?1??1,3?,
故两个命题同时为真的实数a的取值范围是a??22,?1????1,22. ??
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