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福州 高考数学二轮复习专题训练：数系的扩充与复数的引入
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．－i B．i C．－1 D．1 【答案】A
2．复数z对应的点在第二象限，则z在( ) A． 第一象限 【答案】C
B． 第二象限
C． 第三象限
D． 第四象限
3．复数i?2 的虚部是( )
A．i B．?2 【答案】C 4．已知复数z?A．16 【答案】C
C．1 D．2
1?3i,z是z的共轭复数,则z?z等于( ) 3?iB．4
C．1
D．
1 165．若,是虚数单位,且,则在复平面内,复数所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 【答案】C
6．i为虚数单位，复平面内表示复数z??i的点在( ) 2?iD．第四象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 【答案】C
7．复数（1＋i）（1－ai）?R，则实数a等于( )
A．1 B．－1 C．0 【答案】A
8．若(1?ai)（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=( ) A．?1 【答案】A
B．-1
C．0
2D．±1
D．1
9．定义运算A．第一象限 【答案】A
=ad－bc，则满足
B．第二象限
=0的复数z的共轭复数所对应的点在( ) C．第三象限
D．第四象限
10．设i为虚数单位，则复数
A． ?4?3i
3?4i
=( ) i
B． ?4?3i C． ???i
D． ???i
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【答案】D
2
11．如果复数（m＋i）（1＋mi）是实数，则实数m＝( ) A．1 【答案】B
B．－1
C．2
D．－2
12．已知复数z=－1+i，则z在复平面内对应的点在第几象限( ) A．一 【答案】C
B．二
C．三
D．四
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 1－z
13．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝____________
1＋z【答案】2
5的共轭复数是 。 i?2【答案】?2?i
14．复数
15．已知复数z1=3+4i, z2=t+i，且z1·z2是实数,则实数t等于 ． 【答案】2?1
?x?y?5≥0?16．已知实数x，y满足条件?x?y≥0，z?x?yi（i为虚数单位），则|z?1?2i|的最小值是 ．
?x≤3?2 2三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
【答案】m2?m?6?(m2?2m?15)i 17． m取何值时，复数z?m?3(1）是实数； (2）是纯虚数.
【答案】(1)
?m2?2m?15?0??m?3或m??2 (2) ?m?3?0?m2?m?6?0??当m?3或m??2时，z是纯虚数.
18．（1）已知复数z?m(m?1)?(m?2m?3)i,当实数m取什么值时，复数z是： ①零； ②纯虚数； ③z?2?5i.
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(2）设复数z满足z?1,且(3?4i)?z是纯虚数,求z. 【答案】 (1) ①m=1；②m=0；③m=2 (2）z??(??453i)5
π
19．已知复数z=1－sinθ+icosθ(<θ<π)，求z的共轭复数的辐角主值．
2πππ+θ+θ+θ222ππ2
【答案】z=1+cos(+θ)+isin(+θ)=2cos+2isincos 22222πππ
+θ+θ+θ222=2cos (cos+isin)．
222
πππ
+θ+θ+θ222π
当<θ<π时，=－2cos (－cos+isin) 2222πθ3πθ3πθ
=－2cos(+)(cos(－)+isin(－))．
4242423πθ
∴辐角主值为－．
42
20．已知z、?为复数，（1+3i）z为实数，?=
z,且|?|?52,求?. 2?i【答案】设?＝x+yi(x，y∈R)，依题意得(1+3i)(2+i)?＝(－1+7i)?为实数，且|?|＝52，
?7x?y?0?x?1?x??1 ∴?2，解之得或?， ?2?y?7?y??7?x?y?50∴?＝1+7i或?＝－1－7i。
21．实数m取什么值时，复数z?m(m?1)?(m?1)i是 (1）实数？ (2）纯虚数？
【答案】(1）m=1 (2）m=0
22．已知a?R，且以下命题都为真命题：
命题p: 实系数一元二次方程x2?ax?2?0的两根都是虚数； 命题q: 存在复数z同时满足z?2且z?a?1. 求实数a的取值范围.
【答案】由命题p为真，可得??a?8?0?a??22,22;
2由命题q为真，可知复平面上的圆x?y?4和圆?x?a??y?1有交点，
222??2于是由图形不难得到a???3,?1??1,3?，
故两个命题同时为真的实数a的取值范围是a??22,?1????1,22. ??
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