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尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第2章 最优化的数学表达
课后习题详解
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1．已知U?x,y??4x2?3y2。
（1）计算偏导数?U?x，?U?y。
（2）求出上述偏导数在x?1，y?2处的值。
（3）写出U的全微分。
（4）计算dU?0时dy/dx的值——这意味着当U保持不变时，x与y的替代关系是什么？
（5）验证：当x?1，y?2时，U?16。
（6）当保持U?16时，且偏离x?1，y?2时，x和y的变化率是多少？
（7）更一般的，当U?16时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？ 解：（1）对于函数U?x,y??4x2?3y2，其关于x和y的偏导数分别为：
?U?U?6y ?8x，?y?x（2）当x?1，y?2时，（1）中的偏微分值分别为：
?U?x?8， x?1?U?y? 12
y?2（3）U的全微分为：
dU??U?Udx ? dy? 8xdx? 6ydy ?x?ydy?8x?4x。 ??dx6y3y（4）当dU?0时，由（3）可知：8xdx ? 6ydy ? 0，从而可以解得：
（5）将x?1，y?2代入U的表达式，可得：U?4?1?3?4?16。
（6）由（4）可得，在x?1，y?2处，当保持U?16不变，即dU?0时，有：
dy?4?1 ? ? ? 2/3 dx3?2（7）当U?16时，该函数变为：4x2?3y2?16，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由（4）可知，该等高线在（x，y）处的斜率为：
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dy4x ? ?。 dx3y
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2．假定公司的总收益取决于产量（q），即总收益函数为：R?70q?q2； 总成本也取决于产量（q）：C?q2?30q?100。
（1）为了使利润（R?C）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？ （2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。 （3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。 解：（1）公司的利润函数为：
??R?C??2q2?40q?100
利润最大化的一阶条件为：
d? ? ?4q ? 40?0 dq从而可以解得利润最大化的产量为： q? ? 10；
相应的最大化的利润为：??? ?2?102 ? 40?10 ? 100 ? 100。
d2??（2）在q? 10处，利润最大化的二阶条件为：2 ? ?4?0，因而满足利润最大化的二
dq阶条件。
（3）在q?? 10处，边际收益为：MR ?边际成本为：MC ? dR? 70 ? 2q??50； dqdC ? 2q??30?50； dq因而有MR?MC?50，即“边际收益等于边际成本”准则满足。
3．假设f?x,y??xy。如果x与y的和是1，求此约束下f的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。
解：（1）代入消元法
由x?y?1可得：y?1?x，将其代入f可得： f?xy?x?x2。 从而有：
df ? 1 ? 2x ? 0，可以解得：x ?0.5。从而y?1?x ? 0.5，f ?0.25。 dx（2）拉格朗日乘数法 f的最大值问题为：
maxxys.t. x?y?1
构造拉格朗日函数为：
L?xy???1?x?y?
一阶条件为：
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?L ? y ? ? ? 0?x?L ? x ?? ? 0 ?y?L ?1? x ?y ?0??从而可以解得：x?y?0.5，因而有：f?xy?0.25。
4．对偶函数为：
minx?ys..txy?0.25
利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题。
解：设最小化问题的拉格朗日函数为：
L?x?y???0.25?xy?
一阶条件为：
?L?1??y?0?x?L ?1??x?0?y?L?0.25?xy?0??从而有：x?y，xy?x2?0.25，从而可以解得：x?y?0.5。
5．以一定的力垂直上抛的小球的高度是其被抛出时间（t）的函数：
f?t???0.5gt2?40t
其中，g是由重力所决定的常数。
（1）小球处于最高处的时间t如何取决于参数g？
（2）利用你在（1）问中的答案来描述：随着参数g的变化，小球的最大高度如何变化。
（3）利用包络定理直接给出（2）问中的答案。
（4）在地球上，g?32，但是这个值在某些地区会有差异。如果两个地方重力加速度的差异为0.1，则在上述两个地区所抛出的小球的最大高度之间的差异是多少？
解：（1）对高度函数f?t???0.5gt2?40t关于时间求导数可得：
df ? ?gt ? 40 ? 0 dt从而可以解得使高度最大的时间为：t??g成反比例关系。
40，从而可知小球处于最高处的时间t与参数g985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
（2）将t*?
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40代入高度函数中可得： g?40?40800f?t????0.5g???40??
ggg??2从而有：
df?t??dg??800?0，即：随着g的增大，最大高度将变小。 g22?f1 ? ? ?t??取决于g，因为t?取决于g。 ?g22（3）由包络定理可知：
2?40??f?800因而有： ? ?0.5?t*???0.5???2?0。
?gg?g?（4）当g?32时，最大高度为：f?800/32?25；
当g?32.1时，最大高度为：f??800/32.1?24.92；
因而两地最大高度的差异为：?f?f??f?24.92?25??0.08。
6．制作一个油轮模型的一个简单的方法是，首先选择一块宽为x英尺、长为3x英尺的长方形钢板，接着在每个角处减去一个边长为t英尺的正方形，然后叠起剩余的四边做成一个无盖的托盘。（如图2-1所示，去掉阴影部分的四个边长为t的正方形，然后叠起）
图2-1 油轮模型的制作
（1）验证：该托盘可装油的体积为：
V?t?x?2t??3x?2t??3tx2?8t2x?4t3
（2）t应该如何选择，才能使给定x下的V最大？ （3）是否存在一个x使得所装油的体积最大？
（4）假设一个造船商受到限制，只能用1000000平方英尺的钢板来建造一个油轮。该约束条件可以用方程3x2?4t2?1000000来表示（因为可以将去掉的钢板做退回处理）。如何将该受约束的最大化问题的解与（2）和（3）问中的解进行比较？
解：（1）如图2-1所示，长方形四个角处去掉一个边长为t的正方形后叠起来的托盘是一个长方体，该长方体的长为（3x?2t），宽为（x?2t），高为t，因而其体积为：
V?t?x?2t??3x?2t??3tx2?8t2x?4t3
（2）由体积函数为V?t?x?2t??3x?2t??3tx2?8t2x?4t3，体积最大化的一阶条件为：
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?V?3x2?16xt?12t2?0 ?t16x?256x2?144x216x?10.6x从而可以解得：t?，即：t1?0.225x，t2?1.11x。 ?2424?2V?2V二阶条件为：2??16x?24t，只有当t?0.225x时，才有2??16x?24t?0。
?t?t即只有当t?0.225x才能使给定x下的V最大。
（3）当t?0.225x时，V?0.67x3?0.04x3?0.05x3?0.68x3。因而当x增大时，V随之增大，没有极限。因此，不存在一个x使得所装油的体积最大。
（4）受约束的最优化问题为：
maxV?3tx2?8t?4t3s..t3x2?8t2?1000000
设拉格朗日函数为：
L?3tx2?8t2x?4t3???1000000?3x2?4t2?
一阶条件为：
?L?3x2?16tx?12t2?8?t?0?t?L ?6tx?8t2?6?x?0?x?L?1000000?3x2?4t2?0??从而可以利用拉格朗日乘数法求得最优的t?、x?。显然，该受约束的最大化问题的解将有别于（2）和（3）中求解出来的解。
7．考虑如下受约束的最优化问题：
maxy?x1?5lnx2s..tk?x1?x2?0
其中k是一个可以被赋予任何特定值的常数。
（1）验证：如果k?10，则此问题可以视为仅包括一个等式约束的问题的求解。 （2）验证：当k?4时，此问题的解要求x1??1。
（3）如果此问题的解x须为非负，则当k?4时，最优解是什么？
（4）当k?20时，此问题的解是什么？通过将此解与（1）问中的解比较，你可以得出什么结论？
（注意：此问题涉及“拟线性函数”。这样的函数提供了消费者理论中的某些类型的消费行为的重要例子。）
解：（1）设拉格朗日函数为：
L?x1?5lnx2???k?x1?x2?
一阶条件为：
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