第二章 平面向量
本章教材分析
1.丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的相关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算水平和解决实际问题的水平.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决相关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用. 2.教学的最佳契机,全新的思维视角.
向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这个概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种相关问题.这个章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不但生动有趣,而且是培养学生创新精神与水平的极佳契机.
3.本章充分体现出新教材特点.
以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这个章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先实行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时使用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维水平.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也能够用几何的观点处理某些代数问题. 4.本章教学约需12课时,具体分配如下,仅供参考. 标题 2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.2向量的线性运算 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.4平面向量的数量积 2.5平面向量的应用举例 本章复习 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 整体设计
教学分析
本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.因为向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方
课时 1课时 3课时 2课时 2课时 2课时 2课时
向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础. 三维目标
1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.
2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量能够平移这个特性. 重点难点
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 课时安排 1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论：追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.
图1
思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择. 推动新课 新知探究 提出问题
①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？ ③数量与向量的区别在哪里？
活动：教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存有着很多既有大小,又有方向的量.
教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问
题.
讨论结果： ①略.
②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量. ③略. 提出问题
①如何表示向量?
②有向线段和线段有何区别和联系？分别能够表示向量的什么? ③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量? ④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?
⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?
⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?
⑦数量与向量有什么区别?
⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别? 活动：教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段仅仅向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不但与方向、长度相关,也与起点的位置相关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面.
已知AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作|AB|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
图2
知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定. 用有向线段表示向量的方法是：
1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作：AB.
这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点. 2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写：印刷用黑体a,书写用a) 3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|).
教师要注意引导学生将数量与向量的模实行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可实行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也能够比较大小.因为方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义.
教案(平面向量的实际背景及基本概念)
