北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第7讲双曲线练习
[基础题组练]
1．“k<9”是“方程
＋＝1表示双曲线”的( )
25－kk－9
x2y2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，
25－kk－9所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
25－kk－9
x2y2
x2y2
x2y2
2．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
abA．y＝±2x C．y＝±
2x 2
B．y＝±3x D．y＝±3x 2
2
2
解析：选A.法一：由题意知，e＝＝3，所以c＝3a，所以b＝c－a＝2a，所以＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，故选A.
cababac法二：由e＝＝aA.
bb?b?1＋??＝3，得＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，故选aa?a?
2
x2y2
3．(2020·广东揭阳一模)过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的
ab四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( )
A.5－1 3C. 2
B．
5＋1
2
D．2
2
2
b4b22b222
解析：选B.将x＝±c代入双曲线的方程得y＝2?y＝±，则2c＝，即有ac＝b＝c－a，由eaaa
ca5＋1
(舍负)．故选B. 2
＝，可得e－e－1＝0，解得e＝
2
x2y2
4．设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲
ab线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )
1
A．y＝±x
2C．y＝±x 解析：选C.
B．y＝±
2x 2
D．y＝±2x
如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐
2
2
b??b??标分别为?c，?，?c，－?.又A1，A2的坐标分别为(－a，0)，(a，0)． a??a??
b?→?b??所以A1B＝?c＋a，?，A2C＝?c－a，－?. a?a???
→
→→
因为A1B⊥A2C，所以A1B·A2C＝0，
2
2
b2b2
即(c＋a)(c－a)－·＝0，
aab4
即c－a－2＝0，
a2
2
b4b2b所以b－2＝0，故2＝1，即＝1.
aaa2
又双曲线的渐近线的斜率为±， 故该双曲线的渐近线的方程为y＝±x.
bax2y2
5．(2020·河北衡水三模)过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(5，0)作斜率为k(k＜－1)的
ab5
直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A，交另一条渐近线于点B，若S△BOF＝(O为坐标原点)，
3则k的值为( )
A．－2 C．－3
B．－2 D．－5
11
解析：选B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y＝－x，过第二象限的渐近线的方程为y＝kk
?2?y＝k（x－5），5k5kx，直线FB的方程为y＝k(x－5)，联立方程得?1?x＝2，所以y＝2，所以S△BOFk－1k－1y＝x??kk?11?5k?5?
＝|OF|×|yB|＝×5×?2?＝?－2?. 22?k－1?2?k－1?
k?55?1
令?－2?＝，得k＝－2或k＝(舍)．故选B. 2?k－1?32
x2y2226．(2020·黄山模拟)过双曲线E：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点(－5，0)，作圆(x－5)＋y＝
ab4的切线，切点在双曲线E上，则E的离心率等于( )
A．25 C.5 3
B．5 D．
5 2
2
2
解析：选B.设圆的圆心为G，双曲线的左焦点为F.由圆的方程(x－5)＋y＝4，知圆心坐标为G(5，0)，半径R＝2，则FG＝25.
设切点为P，
则GP⊥FP，PG＝2，PF＝2＋2a， 由|PF|＋|PG|＝|FG|， 即(2＋2a)＋4＝20，
即(2＋2a)＝16，得2＋2a＝4，a＝1，又c＝5， 所以双曲线的离心率e＝＝5，故选B.
222
2
2
cax2y2
7．设F为双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一
ab1
象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为( )
2
A．22 C．23
23B．
3D．3
x2y2b解析：选B.双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，线段OF的垂直平分线为直线xaba??＝，将x＝代入y＝x，则y＝，则交点坐标为?，?，
22a2a?22a?
??点?，?到直线y＝－x，即bx＋ay＝0的距离d＝a?22a?
4a＝3c，
2
2
ccbbccbccbcb?bc＋bc??22???1
＝|OF|＝，得c＝2b＝2c－a，即
2a2＋b22
c22
c23
，故选B.
a3
所以双曲线的离心率e＝＝8．已知双曲线C：－y＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点3分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
3A. 2C．23
B．3 D．4
x2
2
32
解析：选B.因为双曲线－y＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线
33与直线y＝
3
x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点3
x2
F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－3(x－2)，
?由?3
y＝x，?3?
?y＝－3（x－2），
3
x＝，??23??3得?所以M?，?，所以|OM|＝
?22?3
??y＝2，
22
?3?＋?3?＝3，所以|MN|＝?2??????2?
3|OM|＝3，故选B.
x2y2
9．(2020·湛江模拟)设F为双曲线E：2－2＝1(a，b＞0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与
abE的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象
限的交点是P，且|PF|＝7－1，则双曲线E的方程是( )
A.－＝1 62C.－y＝1 3
x2y2x2
B．－＝1
26D．x－＝1
3
2
x2y2
y2
2
x2y2b解析：选D.双曲线E：2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，
aba因为四边形OAFB为菱形，
所以对角线互相垂直平分，所以c＝2a，∠AOF＝60°， 所以＝3.
baxy??2－2＝1，则有?a3a
??x2＋y2＝c2＝4a2，
解得P?
22
?73?
a，a?.
2??2
因为|PF|＝7－1，
?7?2?3?22
所以?a－2a?＋?a?＝(7－1)，解得a＝1，
?2??2?
则b＝3，
故双曲线E的方程为x－＝1.
3故选D.
2
y2
x2y2
10．已知双曲线－2＝1(b＞0)的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相
9b切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝( )
A．8 C．23
B．42 D．43
x2y2
解析：选D.因为双曲线－2＝1(b＞0)的虚轴长为8，
9b所以2b＝8，解得b＝4， 因为a＝3，
4222
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，c＝a＋b＝25，A(－3，0)，所以c＝5，所以F(5，0)，
3因为⊙F与双曲线的渐近线相切， |4×5＋0|
所以⊙F的半径为＝4， 224＋3所以|MF|＝4，
因为|AF|＝a＋c＝3＋5＝8， 所以|AM|＝8－4＝43，
11
因为S四边形AMFN＝2×|AM|·|MF|＝|AF|·|MN|，
2211
所以2××43×4＝×8|MN|，
22
2
2
北师大版2021版高考数学(理)一轮复习 第九章平面解析几何第7讲双曲线练习(含答案)
