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线性代数必考的知识点
1、行列式
2
n
1. n 行列式共有 n 个元素，展开后有 n! 项，可分解为 2
行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、 Aij 和 aij 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为
A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：M ij ( 1)i j
Aij
Aij
( 1)i j
M ij
4. 设 n 行列式 D ：
n( n 1)
将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为
D1 ，则 D1
( 1)
2
D ；
n (n 1)
将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ，所得行列式为 D2 ，则 D2 (1)2
D； 将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D3 ，则 D3
D ；
将 D 主副角线翻转后，所得行列式为
D4 ，则 D4 D；
5.
行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
n (n
1)
②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ( 1)
2
；
③、上、下三角行列式（
◥
◣ ）：主对角元素的乘积；
n( n 1)
④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 ( 1)
⑤、拉普拉斯展开式：
A O A C AB、
C
2；
A O A ( 1)m n
A B
C B O B
B
O B C
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
n
6.
对于 n 阶行列式 A ，恒有： E A
n
( 1)k Sk
n k
，其中 Sk 为 k 阶主子式；k 1
7.
证明 A 0 的方法： ①、 A
A；
②、反证法；
③、构造齐次方程组
Ax 0 ，证明其有非零解；
④、利用秩，证明 r ( A) n ； ⑤、证明 0 是其特征值；
2、矩阵
1.
A 是 n 阶可逆矩阵：
A
0 （是非奇异矩阵）；
r( A) n （是满秩矩阵）
A 的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组 Ax 0 有非零解；
b R n
， Ax b 总有唯一解；
A与 E 等价；
A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； A 的特征值全不为 0； AT A 是正定矩阵；
---
1
---
A 的行（列）向量组是 Rn 的一组基； A 是 Rn 中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于 n 阶矩阵 A ： AA* A* A A E 无条件恒 成立；
3. (A 1)*
(A*)
1
(A 1)
T
(AT)
1
(A*)
T
(AT )*
(AB)
T
BT A
T
(AB )*
B* A*
(AB) 1
B1A
1
4.
矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均
A、 B可逆：
A1
若 A
A2
，则：
As
Ⅰ、 A
A1 A2As ；
A1 1
Ⅱ、A
1
A2
1
；
As 1
1
②、 A O
A 1
O
O
B
O
B 1；（主对角分块）
1
O 1
③、
O AB
；（副对角分块）
B O A
1
O
A1
C
A
1
A 1
CB 1 ④、
B
1
；（拉普拉斯）
O B
O
1
⑤、 A O
A
1
O ；（拉普拉斯）
C B B1
CA
1
B
1
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个 m n 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：
FE
r O；
O
O
m n
等价类：所有与
A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵 A 、 B ，若 r( A) r (B)
A B ；
2.
行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非 0 元素必须为 1；
③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为
0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
r
①、若 (A,E) (E ,X)，则 A可逆，且 X A
1
；
c
②、对矩阵 ( A, B) 做初等行变化，当 A 变为 E 时， B 就变成 A 1
B ，即： ( A, B )
(E,A 1
B) ；
r
(
, ) ( , ) 1
③、求解线形方程组：对于 n 个未知数 n个方程 Ax b ，如果 A b E x ，则 A 可逆，且 x
A b ；4.
初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
1
②、2
，左乘矩阵 A ， i 乘 A 的各行元素；右乘， i 乘 A 的各列元素；
n
---
2
---
1
1
1
③、对调两行或两列，符号
E (i , j) ，且 E (i, j) 1
E (i, j) ，例如： 1
1
；
1
1
11
1
④、倍乘某行或某列，符号i (k)) ，且 E (i (k ))1
( i( ))1
，例如：
E (
E
1；
(k 0)
k
k
1
k
1
1
1
k 1
k
⑤、倍加某行或某列，符号
E (ij (k )) ,且 E (ij(k)) 1；
E (ij ( k)) ，如：
1
1
(k 0)
1
1
5. 矩阵秩的基本性质：
①、 0 r ( Am n ) min( m, n) ；
②、 r ( AT
) r (A) ；
③、若 A B ，则 r ( A) r (B) ；
④、若 P 、 Q 可逆，则 r ( A) r ( PA) r ( AQ ) r ( PAQ ) ；（ 可逆矩阵不影响矩阵的秩 ） ⑤、 max( r ( A), r (B)) r ( A, B ) r ( A) r (B ) ；（ ※） ⑥、 r ( A B)
r ( A) r (B) ；（ ※）
⑦、 r ( AB) min( r(A), r (B)) ；（ ※ ）
⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 AB
0 ，则：（ ※）
Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX
0 解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、 r( A)
r(B) n
⑨、若 A、 B 均为 n 阶方阵，则 r (AB )
r (A) r (B) n ；
6.
三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为
列矩阵（向量） 行矩阵（向量） 的形式，再采用结合律；
1 a c
②、型如 0 1 b 的矩阵：利用二项展开式；
0 0 1
n
二项展开式：
(a b)n Cn0a n Cn1a n 1b1
Cnm a n m bm
n
Cnm a mbn m ；
Cnn 1a1bn 1 Cnnb
m 0
注：Ⅰ、 (a
b) n
展开后有 n 1 项；
Ⅱ、 Cnmn(n 1)
(n m 1)
n! C 0
C
n
1
1 2 3n
n
m
m!( n m)!
n
Ⅲ、组合的性质：
Cn
m
Cnn m
Cnm 1
Cnm Cnm 1 Cnr
2
n
rC nr
nCnr 11 ；
r 0
③、利用特征值和相似对角化：
7.
伴随矩阵：
n
r ( A) n ①、伴随矩阵的秩：
r (A*
)
1 r ( A) n 1 ； 0
r ( A) n 1
A
②、伴随矩阵的特征值： A (AXX, A*
A A 1
A* X
X)；
③、 A*
A A1、 A*
A n 1
8.
关于 A矩阵秩的描述：
①、 r ( A) n ， A 中有 n 阶子式不为 0， n 1 阶子式全部为 0；（两句话） ②、 r ( A) n ， A 中有 n 阶子式全部为 0；
---
3
---
③、 r ( A) n ， A 中有 n 阶子式不为 0；
9. 线性方程组： Ax b，其中 A 为 m n 矩阵，则： ①、 m 与方程的个数相同，即方程组
Ax b 有 m 个方程；
②、 n 与方程组得未知数个数相同，方程组
Ax b 为 n 元方程；
10. 线性方程组 Ax b 的求解：
①、对增广矩阵 B 进行初等行变换（ 只能使用初等行变换 ）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由 n 个未知数axa m x个方程的方程组构成ax n 元线性方程：
11 1 12 2
1 n n
b1 ①、a xaxax211
22 2
2 n n
b2
；
axax
ax
nm
bn
am 1 1
am 2 2
an
11
12
1n
x1 b
a1 ②、aa21
22 2 n
x 2
b2
Ax
b （向量方程， A 为 m n 矩阵， m 个方程， n 个未知数）
aaa m1 m 2 mn
xm
bm
x1
b1 ③、x2
b2
a1
a2
an
（全部按列分块，其中
）；
xn
bn
④、 a1 x1 a2 x2
an xn
（线性表出）
⑤、有解的充要条件：
r( A) r( A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.
m 个 n维列向量所组成的向量组
A ： 1 ,
2
,
, m 构成 n m 矩阵 A
( 1, 2,
,
m ) ；
T
1
T
m 个 n维行向量所组成的向量组
B ： 1T ,
2T , ,
mT 构成 m n 矩阵 B
2 ；
T
m
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2.
①、向量组的线性相关、无关 Ax 0 有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 Ax b 是否有解；（线性方程组）
③、向量组的相互线性表示
AX B 是否有解；（矩阵方程）
3. 矩阵 Am n 与 Bl n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组
Ax
0 和 Bx
0 同解； ( P101 例 14)
4. r (AT
A) r ( A) ；( P101 例 15)
5.
n 维向量线性相关的几何意义：
①、 线性相关 0 ； ②、 ,
线性相关
,
坐标成比例或共线（平行）；
③、 , , 线性相关
, , 共面；
6. 线性相关与无关的两套定理：,,
,
,,若 1 2
, s 线性相关，则 1
2
, s
s 1 必线性相关；
若
1
,
2
,
, s 线性无关，则
1
, 2 ,
,
s
1 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若 r 维向量组 A 的每个向量上添上 n r 个分量，构成 n 维向量组 B ：
若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7.
向量组 A （个数为 r ）能由向量组 B （个数为 s ）线性表示，且 A 线性无关，则 r s； 向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则 r( A) r( B) ；
---
4
---
向量组 A 能由向量组 B 线性表示
AX B 有解；
r ( A) r ( A, B )
向量组 A 能由向量组 B 等价
r ( A) r ( B) r ( A, B)
8. 方阵 A可逆
存在有限个初等矩阵
P1, P2, , Pl ，使 A
P1P2 Pl ；
r
①、矩阵行等价： A ~ B
PA
B （左乘， P 可逆） Ax 0 与 Bx 0 同解
c
②、矩阵列等价：
A ~ B AQ B （右乘， Q 可逆）；
③、矩阵等价： A ~ B
PAQ
B（P、Q可逆）；
9.
对于矩阵 Am n 与 Bl n ：
①、若 A 与 B 行等价，则 A 与 B 的行秩相等；
②、若 A 与 B 行等价，则 Ax 0 与 Bx 0 同解，且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵 A 的行秩等于列秩；
10. 若 Am sBs n
Cm n ，则：
①、 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示，②、 B
为系数矩阵； C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示，
AT
为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组 Bx 0 的解一定是
ABx 0 的解， 考试中可以直接作为定理使用，而无需证明 ；
①、 ABx 0 只有零解 Bx 0 只有零解； ②、 Bx 0 有非零解 ABx 0 一定存在非零解； 12. 设向量组 Bn r : b1 , b2 , ,br 可由向量组 An s : a1 ,a2 , ,as 线性表示为：
(b1 ,b2 , ,br ) (a1 , a2 , , as ) K （ B AK ）
其中 K 为 s r ，且 A 线性无关，则 B 组线性无关
r( K ) r ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性 （必要性：
r r (B ) r ( AK )
r ( K), r (K ) r, r (K )
r ；充分性：反证法）
注：当 r s时， K 为方阵，可当作定理使用；
13. ①、对矩阵 Am n ，存在 Qn m ， AQ Em
r ( A) m 、 Q 的列向量线性无关；
②、对矩阵 Am n ，存在 Pn m ， PA
En
r (A) n 、 P 的行向量线性无关；
14.
1 , 2 , , s 线性相关
存在一组不全为 0 的数 k1, k2 , ,ks ，使得 k1 1
k2
2
ks s
0 成立；（定义）
x1 x2
有非零解，即 Ax 0 有非零解；
(1,2,
, s )
0 xs
r ( 1 , 2 , , s) s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设 m n 的矩阵 A 的秩为 r ，则 n元齐次线性方程组 Ax 0 的解集 S 的秩为： r (S)
n r ；
16. 若 * 为 Ax
b 的一个解，
1
,
2
, ,
n r 为 Ax 0 的一个基础解系，则
*
, 1, 2 , , n r 线性无关；
5、相似矩阵和二次型
1.
正交矩阵
ATA E或A
1
AT （定义），性质：
①、 A的列向量都是单位向量，且两两正交，即Tj
ai a j
1 i (i, j
1,2, n) ；
0 i
j
②、若 A 为正交矩阵，则 A 1 AT 也为正交阵，且
A
1 ；
③、若 A 、 B 正交阵，则 AB 也是正交阵；
注意：求解正交阵，千万不要忘记 施密特正交化 和单位化 ；
2.
施密特正交化： (a1, a2 , , ar )
b1 a1 ；
[ b a
1
, r ]
22
b a [ b ,a 2 ]
1
2
b
]
b r a[
, ]
11
br a r
bb [ a r ,
1
b
2
r
b r
;1
[b1, b1 ] [b1 b, 1 ] b [ 2b , 2 ] br
b[r 1
, 1 ]
3.
对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵 ，不同特征值对应的特征向量正交； 4.
①、 A与 B 等价 A 经过初等变换得到 B ；
---
）
5
---
PAQ B， P、Q可逆；
r ( A) r ( B ) ， A 、 B 同型；
②、 A与 B 合同 ③、 A与 B相似
5.
C AC B ，其中可逆；
x Ax 与 x Bx 有相同的正、负惯性指数；
T
T
T
P 1AP
B；
A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；
相似一定合同、合同未必相似； 若 C 为正交矩阵，则 CT AC B A 为对称阵，则 A 为二次型矩阵； n 元二次型 xT Ax 为正定：
A 的正惯性指数为 n ；
6. 7.
T
A 与 E 合同，即存在可逆矩阵 C，使 C AC A 的所有特征值均为正数； E ；
A 的各阶顺序主子式均大于aii 0, A 0 ；(必要条件 )
0；
---
6
线性代数期末复习知识点考点总结
