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第九章 重积分
教学目的：
1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。
8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。 教学重点：
1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；
2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点：
1、 利用极坐标计算二重积分； 2、 利用球坐标计算三重积分； 3、 物理应用中的引力问题。
§9? 1 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念 1? 曲顶柱体的体积
设有一立体? 它的底是xOy面上的闭区域D? 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面? 它的顶是曲面z?f(x? y)? 这里f(x? y)?0且在D上连续? 这种立体叫做曲顶柱体? 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积? 首先? 用一组曲线网把D分成n个小区域 ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线? 作母线平行于z轴的柱面? 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体? 在每个?? i中任取一点(? i ? ? i)? 以f (? i ? ? i)为 高而底为?? i的平顶柱体的体积为 f (? i ? ? i) ??i (i?1? 2? ? ? ? ? n )? 这个平顶柱体体积之和 V??f(?i,?i)??i?
i?1n.
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可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值? 为求得曲顶柱体体积的精确值? 将分割加密? 只需取极限? 即
V?lim?f(?i,?i)??i?
??0i?1n其中?是个小区域的直径中的最大值? 2? 平面薄片的质量?
设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D? 它在点(x? y)处的面密度为?(x? y)? 这里?(x? y)?0且在D上连续? 现在要计算该薄片的质量M?
用一组曲线网把D分成n个小区域 ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?
把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量? ?(? i ? ? i)?? i ?
各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值? M???(?i,?i)??i?
i?1n 将分割加细? 取极限? 得到平面薄片的质量 M?lim??(?i,?i)??i?
??0i?1n其中?是个小区域的直径中的最大值?
定义 设f(x? y)是有界闭区域D上的有界函数? 将闭区域D任意分成n个小闭区域 ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?
其中?? i表示第i个小区域? 也表示它的面积? 在每个?? i上任取一点(? i? ?i)? 作和
?f(?i,?i)??i?
i?1n如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋于零时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在闭区域D上的二重积分? 记作
??f(x,y)d?? 即
D.
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lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d????0i?1Dnf(x? y)被积函数? f(x? y)d?被积表达式? d?面积元素? x? y积分变量? D积分区域? 积分和? 直角坐标系中的面积元素?
如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D? 那么除了包含边界点的一些小闭区域外? 其余的小闭区域都是矩形闭区域? 设矩形闭区域??i的边长为?xi和?yi? 则??i??xi?yi? 因此在直角坐标系中? 有时也把面积元素d? 记作dxdy? 而把二重积分记作
??f(x,y)dxdy
D其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素?
二重积分的存在性? 当f(x? y)在闭区域D上连续时? 积分和的极限是存在的? 也就是说函数f(x? y)在D上的二重积分必定存在? 我们总假定函数f(x? y)在闭区域D上连续? 所以f(x? y)在D上的二重积分都是存在的?
二重积分的几何意义? 如果f(x? y)?0? 被积函数f(x? y)可解释为曲顶柱体的在点(x? y)处的竖坐标? 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积? 如果f(x? y)是负的? 柱体就在xOy 面的下方? 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积? 但二重积分的值是负的?
二? 二重积分的性质 性质1 设c1、c2为常数? 则
??[c1f(x,y)?c2g(x,y)]d??c1??f(x,y)d??c2??g(x,y)d??
DDD 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域? 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和? 例如D分为两个闭区域D1与D2? 则
??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??
DD1D2 性质3
??1?d????d???(?为D的面积)?
DD 性质4 如果在D上? f(x? y)?g(x? y)? 则有不等式
??f(x,y)d????g(x,y)d??
DD 特殊地有
.
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|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??
DD 性质5 设M、m分别是f(x? y)在闭区域D上的最大值和最小值? ?为D的面积? 则有 m????f(x,y)d??M??
D 性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x? y)在闭区域D上连续? ? 为D的面积? 则在D上至少存在一点(?? ?)使得
§9? 2 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 X??型区域?
D ? ?1(x)?y??2(x)? a?x?b ? Y ??型区域?
D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ? 混合型区域?
设f(x? y)?0? D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 此时二重积分柱体的体积?
对于x0?[a? b]? 曲顶柱体在x?x0的截面面积为以区间[?1(x0)? ?2(x0)]为底、以曲线z?f(x0? y)为曲边的曲边梯形? 所以这截面的面积为 A(x0)??2(x0)10??f(x,y)d??f(?,?)??
D??f(x,y)d?在几何上表示以曲面z?f(x? y)为顶? 以区域D为底的曲顶
D??(x)f(x0,y)dy?
b?2(x)根据平行截面面积为已知的立体体积的方法? 得曲顶柱体体积为 V?即 V?可记为
.
?abA(x)dx??[?a?1(x)b?2(x)f(x,y)dy]dx?
f(x,y)dy]dx?
??Df(x,y)d???[?a?1(x)精品文档
??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy?
类似地? 如果区域D为Y ??型区域? D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ? 则有
??f(x,y)d???cdy??(y)D1d?2(y)f(x,y)dx?
例1? 计算??xyd?? 其中D是由直线y?1、x?2及y?x所围成的闭区域?
D 解? 画出区域D?
方法一? 可把D看成是X??型区域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是
y2x12(x3?x)dx?1[x4?x2]2?9?
xyd??[xydy]dx?[x?]dx?1???1?1?1212?12428D2x2注? 积分还可以写成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?
D11112x2x 解法2? 也可把D看成是Y??型区域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是
22y3y429x22??xyd???1[?yxydx]dy??1[y?2]ydy??1(2y?2)dy?[y?8]1?8? D222 例2? 计算
??yD1?x2?y2d?? 其中D是由直线y?1、x??1及y?x所围成的闭区域?
解 画出区域D? 可把D看成是X??型区域? ?1?x?1? x?y?1? 于是
11112221y1?x?yd??dxy1?x?ydy???[(1?x?y)]xdx???(|x|3?1)dx ????1?x3?13?1D2211223121 ???(x3?1)dx?? 302 也可D看成是Y??型区域：?1?y?1? ?1?x .
同济第六版《高等数学》教案-第09章 重积分
