1.1.2 导数的概念
自主预习·探新知
情景引入
中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？
新知导学
1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0
＋Δt之间的平均变化率
ft0＋Δt－ft0
趋近于__常数__，我们就把这个__常数__叫做
Δtt0时刻的瞬时速度．即
v＝Δlim t→0
Δss＝__lim Δt→0Δtt0＋Δt－st0
__.
Δtx0＋Δx－fx0
.
Δx故瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率．
Δyf2．导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是Δlim ＝lim x→0ΔxΔx→0
Δy我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝Δlim x→0Δx＝__lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0__. Δx
预习自测
1．已知物体的运动方程是S＝－4t＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2 s时的瞬时速度为( D )
A．3 m/s C．1 m/s
2
B．2 m/s D．0 m/s
[解析] ΔS＝－4(2＋Δt)＋16(2＋Δt)＋4×2－16×2＝－4(Δt)， ΔS－4Δt∴＝ΔtΔt∴v＝Δlim t→0
2
222
＝－4Δt，
ΔS＝lim (－4Δt)＝0. ΔtΔt→0
∴物体在t＝2 s时的瞬时速度为0 m/s.
2．设f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于( C ) A．2 C．1
f[解析] f′(1)＝lim x→1∴a＝1.
3．设函数f(x)可导，则Δlim x→0A．f′(1) 1
C．f′(1) 31f[解析] 原式＝Δlim
3x→0
B．－2 D．－1
x－f1
＝lim2a＝2a＝2. x→1x－1
f1＋Δx－f1
等于( C )
3ΔxB．3f′(1) D．f′(3)
1＋Δx－f11
＝f′(1)．
Δx3
2
4．由导数的定义可求得，函数f(x)＝x－2x在x＝1处的导数 f′(1)＝__0__. [解析] f′(1)＝Δlim x→0＝Δlim x→0
1＋Δx2
f1＋Δx－f1
Δx－21＋Δx＋1
Δx＝ΔlimΔx＝0. x→0
互动探究·攻重难
互动探究解疑 命题方向? 瞬时速度 s)
Δs(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；
ΔtΔs(2)当t＝2，Δt＝0.001时，求；
Δt(3)求质点M在t＝2时的瞬时速度．
典例1 已知质点M按规律s＝2t＋3做直线运动．(位移单位：cm，时间单位：
2
[思路分析] 先求Δs，Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝2(t＋Δt)＋3－(2t＋3)＝4t·Δt＋ΔsΔs2
2(Δt)，再求，最后代值，Δt越接近于0，就越接近某时刻的瞬时速度．
ΔtΔt[解析] ＝2
Δss＝Δt2
22
t＋Δt－st
Δt2
t＋Δt＋3－2t＋3Δt＝4t＋2Δt.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，
Δs＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)． ΔtΔs(2)当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．
ΔtΔs(3)v＝Δlim ＝Δlim (4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)． t→0Δtt→0
『规律总结』 求物体在时刻t0的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平均速度，然后求解当时间增量Δt趋近于零时平均速度所趋向的那个定值，这个定值即为物体在t0时刻的瞬时速度．
┃┃跟踪练习1__■
某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为( B )
A．1
C．－1 [解析] 由s(t)＝t－2，得
3
3
B．3 D．0
s′(t)＝Δlim t→0
2
t＋Δt3
－2－t－2
Δt2
3
＝Δlim3t＋3t·Δt＋Δt＝3t， t→0
所以s′(1)＝3.则物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.故选B． 命题方向? 利用定义求函数在某点处的导数
12
典例2 根据导数定义求函数y＝x＋＋5在x＝2处的导数．
2
x[思路分析] 根据导数的定义求导数是求函数导数的基本方法． [解析] 当x＝2时，Δy＝(2＋Δx)＋－Δx，
22＋ΔxΔy1所以＝4＋Δx－，
Δx4＋2ΔxΔy?4＋Δx－1? 所以y′|x＝2＝Δlim ＝lim ?x→0ΔxΔx→0?4＋2Δx??
2
1?21?2
＋5－?2＋＋5?＝4Δx＋(Δx)＋
2?2＋Δx?
2020秋高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念学案含解析人教A版选修2_2
