专题过关检测（十九） 概率与统计
1．(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频率分布表. y的分组 企业数 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)
附：74≈8.602.
解：(1)根据产值增长率频率分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40＋72的企业频率为＝0.21，产值负增长的企业频率为＝0.02，
100100
用样本频率分布估计总体分布，得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.
(2)y＝
1
×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30， 100[－0.20,0) 2 [0,0.20) 24 [0.20,0.40) 53 [0.40,0.60) 14 [0.60,0.80) 7 1
s2＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，
100s＝0.029 6＝0.02×74≈0.17.
所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.
2．某工厂有两台不同的机器A和B，生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行质量鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示．
该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩在[90,100)内的产品，质量等级为优秀；鉴定成
绩在[80,90)内的产品，质量等级为良好；鉴定成绩在[60,80)内的产品，质量等级为合格．将频率视为概率．
(1)完成下列2×2列联表，以产品质量等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上(含良好)与生产产品的机器有关；
良好以上(含良好) 合格 合计 A机器生产的 产品 B机器生产 的产品 合计 (2)已知质量等级为优秀的产品的售价为12元/件，质量等级为良好的产品的售价为10元/件，质量等级为合格的产品的售价为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元．该工厂决定，按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，或收益之差不超过5万元，则保留原来的两台机器．你认为该工厂会怎么做？
附：K2＝
n?ad－bc?2
，
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?P(K2≥k0) k0 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 解：(1)完成2×2列联表如下： 良好以上(含良好) 合格 合计 结合列联表中的数据，可得
6 14 20 K2的观测值
12 8 20 18 22 40 A机器生产的产品 B机器生产的产品 合计 40×?6×8－12×14?240k＝＝≈3.636<3.841.
1120×20×18×22
故在误差不超过0.05的情况下，不能认为产品等级是否达到良好以上(含良好)与生产产品的机器有关．
(2)由题意得，A机器每生产10万件产品的利润为10×(12×0.1＋10×0.2＋5×0.7)－20＝47(万元)，B机器每生产10万件产品的利润为10×(12×0.15＋10×0.45＋5×0.4)－30＝53(万元)，
因为53－47＝6(万元)，6>5，
所以该工厂应该会卖掉A机器，同时购买一台B机器．
3．某商店为了更好地规划某种商品的进货量，从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示(x为该商品的进货量，y为销售天数)：
x/吨 y/天
(1)根据上表数据在如图所示的网格中绘制散点图；
2 1 3 2 4 3 5 3 6 4 8 5 9 6 11 8
^^^
(2)根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)根据(2)中的计算结果，若该商店准备一次性进货该商品24吨，预测需要销售的天数．
?xiyi－nx y
^参考公式和数据：b＝
i＝1
n
n
^^，a＝y－bx.
2
?xi2－nx
i＝1
8
8
?x2i＝356，?xiyi＝241.
i＝1
i＝1
解：(1)散点图如图所示：
1
(2)依题意，得x＝×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6，
81
y＝×(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，
8
8
2
又xi＝356，xiyi＝241， i＝1i＝1
?
8
?
?xiyi－8x y
^所以b＝
i＝1
8
8
?x2i－8x
i＝1
2
241－8×6×449
＝＝，
68356－8×62
4911^
a＝4－×6＝－，
683411^49
故线性回归方程为y＝x－.
6834
11^49
(3)由(2)知，当x＝24时，y＝×24－≈17，
6834故若该商店一次性进货24吨，则预计需要销售17天．
4．(2020届高三·武昌区调研)对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据直方图完成以下表格； 成绩 频数 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] (2)求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？
解：(1)填表如下： 成绩 频数 [50,60) 50 [60,70) 150 [70,80) 350 [80,90) 350 [90,100] 100 (2)平均数为55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78， 方差s2＝(－23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101. (3)进入复赛选手的成绩为80＋其以上的选手均可进入复赛．
(说明：回答82分以上，或82分及其以上均可)
5．(2019·济南学习质量评估)某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台．试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品(不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价)．经统计，决定退货的客户人数占总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性2
能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货．
3
(1)请完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”？
350－?380－100?
×10＝82(分)，所以初赛成绩为82分及
350
高考文科数学二轮复习专题练习（十九）概率与统计
