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3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 课时演练·促提升 A组 1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限. 答案:C
2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( ) A.0 B.2i C.6 D.6-2i 解析:z=3-i-(i-3)=6-2i. 答案:D
3.若复数z1=a-i,z2=-4+bi,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为( ) A.-1-5i B.-1+5i C.3-4i D.3+3i 解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+bi)
=a+4-(1+b)i=6+i, ∴a=2,b=-2,
∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D. 答案:D
4.若复平面上的?ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是( ) A.-1-7i B.2+14i C.1+7i D.2-14i
解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i. 答案:A
5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形. 答案:B
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6.计算(-1+2i)+(i+i)-|1+2i|= . 解析:原式=-1+2i+(i-1)-
=-2+3i- =-(2+)+3i. 答案:-(2+)+3i
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7.已知复数z1=(a-2)+(a-4)i,z2=a-(a-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a= .
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解析:z1-z2=(a-a-2)+(a-4+a-2)i=(a-a-2)+(a+a-6)i(a∈R)为纯虚数,
所以解得a=-1. 答案:-1
8.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2. 解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]
=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i =(5x-3y)+(x+4y)i, 又z1-z2=13-2i,
∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.
∴
解得
∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i, z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i =-8-7i.
9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i. (1)求对应的复数; (2)判断△ABC的形状; (3)求△ABC的面积.
解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,
对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i, 对应的复数为-1+2i-1=-2+2i. (2)∵||=,||=,||==2, ∴||2+||2=||2,
∴△ABC为直角三角形. (3)S△ABC=×2=2.
B组
xy1.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2+4的最小值为( ) A.2 B.4 C.4 D.16 解析:∵复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,
∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+yi|, 化简得x+2y=3. ∴2x+4y≥2=2=2=4,
当且仅当x=2y=时,等号成立. 答案:C
2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心. 答案:A
3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z= . 解析:∵z为纯虚数,∴设z=bi(b∈R,且b≠0).
由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3. ∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2. ∴b=1±2. 答案:(1±2)i
4.已知复数z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为 . 解析:∵z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=,
∴(x-2)2+y2=3. 由图可知.
答案:
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5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sinθ+i,z2=-cosθ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.
(1)求复数z;
(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值. 解:(1)∵点A,B对应的复数分别是
z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,
∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),
∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin2θ). ∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i. (2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,
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得-2sinθ=-,即sinθ=, ∴sin θ=±. 又θ∈(0,π), ∴sin θ=, ∴θ=.
6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.
解:设z=x+yi,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.
7.设z1=1+2ai,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=?,求a的取值范围. 解:因为z1=1+2ai,z2=a-i,
|z-z1|<,即|z-(1+2ai)|<, |z-z2|≤2,
即|z-(a-i)|≤2,
由复数减法及模的几何意义知,集合A是以(1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=?,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.
人教版 高中数学 选修2-2 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课后习题
