非常全面的《概率论与数理统计》复习材料

1．离散型的求法 随机变量的函数的概率分布 设离散型随机变量X的分布律为：[X x1 x2 … xk … ,则X的函数Y=g(X)的分布律为：P p1 p2 … pk …][ Y g(x1) g(x2) …g(xk) …P p1 p2 … pk …, 当g(xj)有相同情况时，概率为相应之和。 ]2．连续型的公式法： 设X为连续型随机变量，其密度函数为fX(x)，设g(x)是一严格单调的可导函数，其值域[?,?]，且g?(x)?0，记x=h(y)?fX(h(y))|h?(y)| ?

X -1 0 1 2例1设X的分布律为：P 0.2 0.3 0.1 0.4，求Y=(X-1)2的分布律。 X -1 0 1 2[解]：先由X的值确定Y的值，得到Y 4 1 0 1，将Y的值相同的X的概率合在一起，得到Y的分布律 4 1 0 [Y P 0.2 0.7 0.1]。? 随机变量的函数的概率分布的例题 [解]：用公式法：设y=g(x)=3x+2, y=g(x)的反函数为x=h(y)= 则Y=g(X)的密度函数为 ?fX(h(y))|h?(y)| ?

第三章 多维随机变量及其概率分布 二维随机变量 二维离散型随机变量及其概率分布 二维离散随机变量 ?的边缘分布列为 P{?=yj}=? pij = p*j i=1x二维连续型随机向量(?,?)的分布函数F(x,y)= ?P{?=xi,?=yj}=pij , 其中 ? ? pij=1 且 pij?0 i=1j=1 可用一个分布列表或分布列矩阵 (pij) 来表示 ?的边缘分布列为 P{?=xi}=? pij = pi* j=1 例1设二维随机向量（?,?）的联合分布律为 ?\\? 1 2 则常数?= （ ） A、1/6 B、1/4 C、1/3 D、1/2 1 1/6 1/4 2 1/3 ? 二维随机向量(?,?)的联合分布函数指F(x,y)=P{??x,??y} 0?F(x,y)?1 ; F(-∞,+∞)= F(x,-∞)= F(-∞,y)=0; F(+∞,+∞)=1; P{x1??x2,y1

离散型：在条件Y=yj下随机变量X的条件概率分布为 P{X=xi|Y=yj}=P{X=xi，Y=yj}pij = , i=1,2,… P{Y=yj}p*j连续型：在条件Y=y下随机变量X的条件分布函数FX|Y(x|y)与条件概率密度函数fX|Y(x|y)分别为： FX|Y(x|y)= ?f(x,y)xf(u,y) du fX|Y(x|y) = fY(y) ?-∞fY(y)例1：设随机变量X在区间 (0,1)上服从均匀分布，在X=x (0

二元正态分布 二元正态分布N(?1,?2,?12,?22,?)的密度函数 11(x-?1)22?(x-?1)(y-?2)(y-?2)2p(x,y)= exp{-[ - + ]} 2(1-?2)?12?1?2?222??1?21-?2二元正态分布N(?1,?2,?12,?22,?)的边缘密度分布仍是正态分布 ?~N(?1,?12) , ?~N(?2,?22) 边缘概率密度为 fX(x)= 1?1(x-?1)2(y-?2)21e-2?12 , fY(y)= e-2?22 2??22?(X,Y)在区域D上服从均匀分布?设D是xOy面上的有界区域，其面积为A。如果二维随机变量(X,Y)具有概率密度 1?A (x,y)?Df(x,y)= ??0 其他，则称 (X,Y)在区域D上服从均匀分布。 二元均匀分布 例1:设 (X,Y) 服从区域D：｛(x, y)：a≤x≤b, c≤y≤d｝上的均匀分布，求 （1）(X,Y) 的联合概率密度p(x, y)； （2）X, Y 的边际概率密度 pX(x) , pY(y) ; 1? (b-a)(d-c) a?x?b c?y?d[解]：(1) f(x,y)= ?? 0 其他 ; 11+∞+∞? b-a? d-c a?x?b c?y?d(2) pX(x)= ?p(x,y)dy =?, pY(y)= ?p(x,y)dx=? -∞-∞? 0 其他? 0 其他xy例1设二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)=A(B+arctan)(C+arctan)。试求：(1)常数A,B,C；(2) (X,Y)的概率密度。[解]：23x???由分布函数性质，得到F(+∞,+∞)=A(B+)(C+), F(x,-∞)=A(B+arctan)(C-)=0, 2222y11?x?y?? F(-∞,y)=A(B-)(C+arctan)=0, 解得 A=2, B=C= . 即F(x,y)= 2(+arctan)(+arctan)。 232223??2(2) f(x,y) = ?2F(x,y)6 = 22 . ? ?x?y?(x+9)(y2+4)例2: 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}?1}。. [解]：P{max{X,Y}?1}=P{X?1且Y?1}，因为X与Y相互独立，所以 111111P{X?1且Y?1}= P{X?1}P{Y?1}=?= 。（这里P{X?1}=?dx= ） ? 339303?1， 0

例4设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 2?x+cxy 0?x?1.0?y?2f(x,y)= ? ? 0 其他综上所述 求(1)常数C; (2)P{X+Y?1};(3)联合分布函数F(x,y). [解]：(1)由的概率密度性质得到 +∞+∞12211=??f(x,y)dxdy=??(x2+cxy)dxdy=+c ? c= ; 33-∞-∞00(2) P{X+Y?1}=? ?f(x,y)dxdy=?? f(x,y)dxdy Dx+y?1121541652xy=?dx?(x+)dy=?(x3+x2+x)dx = 37201-x0632(3) 当x<0或y<0时， xyF(x,y)= ??p(u,v)dudv=0; -∞-∞当0?x1, 0?y<2时， xyx3yx2y22uvF(x,y)= ??p(u,v)dudv=??(u+)dudv=+; 3312-∞-∞00当0?x1, y?2时， x22x3x22uvF(x,y)= ??p(u,v)dudv=??(u+)dudv=+; 333-∞-∞00当x?1, 0?y<2时， 1yuvyy2F(x,y)= ??p(u,v)dudv=??(u2+)dudv=+; 3312-∞-∞00当x?1, y?2时， x

若F(x,y)=F?(x)F?(y)，则称随机变量?与?相互独立。 几个充要条件： yF(x,y)= ??p(u,v)dudv=1 -∞-∞xyxyxyF(x,y)= ????? 0 x<0或y<0x3yx2y2+ 0?x1及0?y<23122x3x2+ 0?x1及y?2 33yy2+ x?1及 0?y<2312 1 x?1及y?2 例：袋中有2只白球，3只黑球,现进行无放回地摸球，定义： [解]:(?,?)的联合分布与边际分布为 ?\\ ? 0 1 p? 因为 p(0,0)=3/10?p?(0)p?(0)=9/25 所以?与?不独立。 ? 0 3/10 3/10 6/10 1 3/10 1/10 4/10 p? 6/10 4/10 ? 1 第一次摸出白球? = ? ? 0 第一次摸出黑球连续型随机变量?与?相互独立? p(x,y)=p?(x)p?(y) 独立性 pij=pipj 二元正态分布N(?1,?1,?2,?2,?) 随机变量?与?相互独立??=0。 X与Y相互独立?f(X)与g(Y)也相互独立。 22? 1 第二次摸出白球?= ? ? 0 第二次摸出黑球离散型随机变量?与?相互独立? 求:(1)（?，?）的联合分布； （2）?，? 的边际分布； （3）?，? 是否相互独立？ ?1 若A出现?1 若B出现例2：设A, B是二随机事件；随机变量 X=? Y=? ?-1 若A不出现?-1 若B不出现试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立。