《概率论与数理统计》复习大纲
第一章 随机事件与概率 随机试验E----指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且基本概念 事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。 样本点? ---随机试验E的每一个可能出现的结果 样本空间?----随机试验E的样本点的全体 随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。 必然事件---每次试验中必定发生的事件。 不可能事件?--每次试验中一定不发生的事件。 事件之间的关系 事件之间的运算 运算法则 事件的交AB或A∩B 事件的并A∪B 事件的差A-B 注意： A-B = A￣B = A-AB = (A∪B)-B 例1设事件A、B满足A∩Bˉ =?，由此推导不出 (D) A、A?B B、Aˉ ?Bˉ C、A∪B=B D、A∩B=B 例2若事件B与A满足 B – A=B，则一定有 (B) A、A=? B、AB=? C、ABˉ =? D、B=Aˉ 包含A?B 相等A=B 对立事件，也称A的逆事件 互斥事件AB=?也称不相容事件 A，B相互独立 P(AB)=P(A)P(B) 例1事件A，B互为对立事件等价于（ D ） A、A，B互不相容 B、A，B相互独立 C、A∪B＝Ω D、A，B构成对样本空间的一个剖分 例2设P(A)=0，B为任一事件，则（ C ） A、A=? B、A?B C、A与B相互独立 D、A与B互不相容 n∪Ai=? A1,A2,…,An构成?的一个完备事件组(或分斥)??指A1,A2,…,An两两互不相容，且i=1交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A 结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) ￣￣￣￣对偶律 A∪B =￣A∩￣B A∩B =￣A∪￣B 文氏图
事件与集合论的对应关系表
记号 ? ? ? A ￣A A?B A=B A∪B AB A-B AB=?
概率论 样本空间，必然事件 不可能事件 基本事件 事件 A的对立事件 事件A发生导致事件B发生 事件A与事件B相等 事件A与事件B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A发生但事件B不发生 事件A与事件B互不相容（互斥） 集合论 全集 空集 元素 全集中的一个子集 A的补集 A是B的子集 A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A与B没有相同的元素
古典概型的前提是?={?1, ?2, 例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多?3,…, ?n,}, n为有限正整数，且每个样本点?i出现的可能性相等。 古典概型 A包含样本总个数|A|P(A)= = 样本点总数|?|为2个的事件A2的概率。 [解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以|?|=43=64。 (1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个3球，所以|A1|= C43！=24；则P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2个1211时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(C4C3)，另有一个杯子恰有1个球(C3C1)，1211所以|A2|= C4C3C3C1=36；则P(A2)=36/64 =9/16 ? 例2从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。 112C3C5+C313[解]：p1= = , p2= = ? 321314 C9 C94前提是如果在某一区域?任取一点，而所取的点落在?中任意两个度量相等的子区域的可几何概型 能性是一样的。 若A??， 则P(A)= A的度量 ?的度量例1把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。 [解]：设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y，那么，样本空间，S={(x,y)|0?x?a,0?y?a,0?a-x-y?a}。而随机事件A：”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组， ?a-x-y 条件概率公式：P(A|B)=P(AB) ; (P(B)>0) P(B) P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。 概率公式 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0) 全概率公式：P(B)= ? P(B|Ai)P(Ai) 其中A1,A2,…,An构成?的一个分斥。 i=1贝叶斯公式：P(Ak|B)= P(B|Ak)P(Ak) = P(B)P(B|Ak)P(Ak) n ? P(B|Ai)P(Ai)i=1n例1设两两相互独立的三个事件A, B和C满足条件：ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)<1/2, 且已知 P(A∪B∪C)=9/16，则 P(A)= 。 [解]: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC), 令P(A)=x, 则3x –3x2=9/16 ? 16x2-16x+3=0 ? x=1/4 或3/4(舍去) 则P(A)=1/4 ? 例2某射击队共有20个射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能够进入正式比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5和0.2，求任选一名选手能进入正式比赛的概率。 [解]:设Ak=选中第k级选手, k=1,2,3,4，B=进入正式比赛。由已知P(A1)=1/5, P(A2)=2/5, P(A3)=7/20, P(A4)=1/20; 应用题 P(B|A1)=0.9, 例3某物品成箱出售，每箱20件，假设各箱中含0、1件次品的概率分别为0.8和0.2，一顾客在购买时，他可以开箱，从箱中任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱物品，否则退货。试求：（1）顾客买下该箱的概率 ? ； （2）顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率 ? 。 [解]:设事件A0—箱中0件次品, A1—箱中1件次品，事件B—买下该箱。由已知P(A0)=0.8, P(A1)=0.2, P(B|A0)=1, P(B|A1)=19/20 ? 18/19 ? 17/18=17/20, (1) ?=P(B)= P(A0)P(B|A0)+ P(A1)P(B|A1)=0.8?1+0.2?7/20=0.97 ; (2) ?=P(A0|B)= P(A0B)/P(B)= P(A0)P(B|A0)/P(B)=0.8/0.97= 0.8247 ? 事件的独立性 可靠性 贝努里概型 如果事件A与事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。 结论：1. 如果P(A)>0，则事件A与B独立? P(B|A)=P(B) 2. 事件A与事件B独立?事件A与事件￣B独立 ?事件￣A与事件B独立?事件￣A与事件￣B独立 事件A1,A2,…,An相互独立---指任意k个事件Ai1,Ai2,…,Aik满足P(Ai1∩Ai2∩…∩Aik) =P( Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，其中k=2,3,…,n。 元件的可靠性P(A)=r 系统的可靠性： 串联方式 P(A1∩A2∩…∩An)=rn 并联方式 P(A1∪A2∪…∪An)=1-(1-r)n , 指在相同条件下进行n次试验；每次试验的结果有且仅有两种A与￣A；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(￣A)=1-p。 二项概率---在n重独立试验中，事件A恰好发生k次的概率为b(k;n,p)，则 kb(k;n,p)= Cnpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,…,n)。 P(B|A2)=0.7, P(B|A3)=0.5, P(B|A4)=0.2. P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)+ P(A4)P(B|A4)=1/5?0.9+2/5?0.7+7/20?0.5+1/20?0.2=0.645 ? 第二章 随机变量与概率分布 分布函数定义： F(x)=P{?≤x}, -? C例1设随机变量?的分布列为P{?=k}=k ，k=1,2,…，则2离散型例题 常数C= ( ) A、1/4 B、1/2 C、1 D、2 ∞c/2(因为? P{?=k}=1, 即 =1, 所以c=1 ) 1-1/2k=1例2某射手有5发子弹，射一次命中的概率为0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用仅。求耗用子弹数?的分布列。 定义：-随机变量可能取的值连续地充满一个范围, 如果对于随机变量?的分布函数F(x)，存在非负可积函数p(x)，使得对于任意x实数x，有 F(x)= ? -∞p(u)du， 则称?为连续型随机变量，其中p(x)为的概率密度函数. 密度函数必须满足条件： (1) p(x)?0, -∞
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