拉氏变换与Z变换的基本公式及性质

1拉氏变换的定义

若时间函数 f(t) 在 t > 0 有定义，则 f(t) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）为

L[f(t)]?F(s)???0?F(s)像

f(t)?e?tsdt??f(t)原像

1t)?2拉普拉斯反变换 f(2πj1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性 2 微分定理 一般形式 ????j??j?F(s)estds ,可表示为：f(t) =L-1[F(s)]

L[af(t)]?aF(s) L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s) df(t)]?sF(s)?f(0)dtd2f(t)L[]?s2F(s)?sf(0)??f?（0） 2dt???????L[ndnf(t)nL???sF(s)??sn?kfndtk?1k?1df(t)f(k?1)(t)?dtk?1??????(k?1)(0)初始条件为0时 dnf(t)nL[]?sF(s) ndtL[?f(t)dt]?2 3 积分定理 一般形式 F(s)[?f(t)dt]t?0?ss2F(s)[?f(t)dt]t?0[??f(t)(dt)]t?0 L[??f(t)(dt)]?2??ss2s?共n个??nF(s)1nL[???f(t)(dt)]?n??n?k?1[???f(t)(dt)n]t?0sk?1s共n个初始条件为0时 ?F(s)L[???f(t)(dt)n]?n s共n个4 延迟定理（或称t域平移定理） L[f(t?T)1(t?T)]?e?TsF(s) 5 衰减定理（或称s域平移定理） L[f(t)e?at]?F(s?a) 6 终值定理 7 初值定理 8 卷积定理 limf(t)?limsF(s) t??s?0limf(t)?limsF(s) t?0s??L[?f1(t??)f2(?)d?]?L[?f1(t)f2(t??)d?]?F1(s)F2(s) 00tt2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 序号 时间函数e(t) 拉氏变换E(s) 1 Z变换E(z) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

δ(t) ?(t?kT) ?T(t)???(t?nT) n?0?e?kTs 1 ?Ts1?e1 sz?k z z?1z z?11(t) t t221 s21s3Tz(z?1)2 Tz(z?1)2(z?1)32tn n!1sn?11s?a(?1)n?nzlim() n?aTa?0n!?az?ezz?e?aTe?at te?at 1(s?a)2Tze?aT(z?e?aT)21?e?at a s(s?a)(1?e?aT)z (z?1)(z?e?aT)e?at?e?bt b?a (s?a)(s?b)zz? z?e?aTz?e?bTzsin?T z2?2zcos?T?1z(z?cos?T) 2z?2zcos?T?1sin?t ?s2??2ss2??2 cos?t e?atsin?t ?(s?a)2??2s?a(s?a)2??2ze?aTsin?Tz2?2ze?aTcos?T?e?2aTz2?ze?aTcos?Tz2?2ze?aTcos?T?e?2aTz z?a e?atcos?t at/T 1 s?(1/T)lna