§2.9 函数模型及其应用
最新考纲 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
考情考向分析 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以选择、填空题为主，中档难度.
1．几类函数模型
函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f (x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 性质 在(0，＋∞)上单调递增 单调递增 单调递增 的增减性 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 随x的增大逐渐表现随x的增大逐渐表现随n值变化而各图象的变化 为与y轴平行 为与x轴平行 有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax 概念方法微思考 请用框图概括解函数应用题的一般步骤． 提示 解函数应用题的步骤 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × ) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × ) (3)已知a>0且a≠1，则不存在x0，使ax0 (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) 题组二 教材改编 2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________． 答案 3 解析 设隔墙的长度为x(0 2∴当x＝3时，y最大． 3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生1 产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月 2应生产该商品数量为______万件． 答案 18 1 解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142， 2当x＝18时，L(x)有最大值． 4．已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21t(t≥0，且m>0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________． 1 ，＋∞? 答案 ??2? 解析 由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m>0)， 1 又m·2t＋21－t≥22m，∴22m≥2，∴m≥. 2 题组三 易错自纠 5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________． 答案 ?p＋1??q＋1?－1 － 解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝?1＋p??1＋q?－1. 6．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只． 答案 200 解析 由题意知100＝alog3(2＋1)， ∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)． 当x＝8时，y＝100log39＝200.
2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第二章 2.9函数模型及其应用
