A．x＝0 πC．x＝ 8答案 B
πB．x＝
12πD．x＝
3
π?2π?解析 ∵函数f(x)＝sin?2ωx－?(ω＞0)的最小正周期为＝π，∴ω＝1，f(x)＝3?2ω?π?2ππ?π??sin?2x－?.若将函数f(x)的图象向左平移个单位，可得y＝sin?2x＋－?＝
3?33?3??π?ππkππ?sin?2x＋?的图象，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝＋，令k＝0，可得所得函数3?32212?π
图象的一条对称轴为x＝.故选B.
12
2．(2024·丹东市高三总复习质量测试(一))设函数f(x)＝sinωx(ω>0)，已知对于
?0，2π?内的任意x，总存在?0，2π?内的x，使得f(x)＋f(x)＝0，则ω的( ) ?1?212
3?3?????
A．最大值为3 9C．最大值为
4答案 D
B．最小值为3 9
D．最小值为 4
?2π??2π?解析 因为要满足对任意的x1∈?0，?，总存在x2∈?0，?，使得f(x1)＋f(x2)＝0，
3?3????2π?对于f(x)＝sinωx(ω>0)，则在?0，?上的函数值有正值，即f(x1)可以有正值，要存在x2
3??
使得f(x1)＋f(x2)＝0，则f(x2)需要有负值．又f(x1)可以取到最大值1，要存在f(x2)，使得
f(x1)＋f(x2)＝0，则f(x2)要可以取到最小值－1，说明f(x)在x>0上取得第一个最小值的点
2π2π32π32π2π9
应在的左侧或者恰好落在处，所以T≤，即·≤，解得ω≥.故选D.
33434ω34
考向3 三角函数的性质
例3 (1)(2024·天津九校高三联考)已知函数f(x)＝sinωx－3cosωx(ω>0)的图象ππ
与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位得到函数y26＝g(x)的图象，则y＝g(x)是减函数的区间为( )
?π?A.?－，0?
?3??ππ?C.?－，? ?42?
?π?B.?0，?
3??
D.?
?π，π? ??43?
- 6 -
答案 D
π??解析 f(x)＝sinωx－3cosωx＝2sin?ωx－?，因为图象与x轴的两个相邻交点的距3??π?Tπ??π?π??离等于＝，所以T＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin?2x－?.所以g(x)＝2sin?2?x＋?－?6?3?3?22???π3ππ3π
＝2sin2x.由＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ，所以y＝g(x)是减
22443π?π?函数的区间为?＋kπ，＋kπ?(k∈Z)．分析选项只有D符合．故选D.
4?4?
??π??(2)若将函数y＝sin?2?x＋??的图象向右平移m(m>0)个单位长度后所得的图象关于直
6????
π
线x＝对称，则m的最小值为( )
4
A.
ππππ B. C. D. 12643
答案 B
π????解析 平移后所得的函数图象对应的解析式是y＝sin?2?x－m＋??，如果该函数的图象
6????π?ππkππ?π
关于直线x＝对称，则2?－m＋?＝kπ＋(k∈Z)，所以m＝－＋(k∈Z)，又m>0，
6?4226?4π
故当k＝0时，m最小，此时m＝.
6
(3)已知函数f(x)＝|sinx|·cosx，则下列说法正确的是( ) A．f(x)的图象关于直线x＝B．f(x)的周期为π
C．若|f(x1)|＝|f(x2)|，则x1＝x2＋2kπ(k∈Z)
π
对称 2
?π3π?D．f(x)在区间?，?上单调递减
4??4
答案 D
解析 因为f(x)＝|sinx|·cosx，所以函数f(x)在区间[0,2π]上的解析式为f(x)＝1
??2sin2x，0≤x≤π，?1??－2sin2x，π 且 f(x)是偶函数，画出f(x)的大致图象(图略)可知D选项正确．故选D. 求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识 - 7 - (1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解． π ①令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程． 2②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标． ③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号． (3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0. 1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1，|φ|<π)．若对任意x∈R，f(1)≤f(x)≤f(6)，则( ) A．f(1016)－f(1017)>0 B．f(1016)－f(1017)＝0 C．f(1016)＋f(1017)<0 D．f(1016)＋f(1017)＝0 答案 A 解析 ∵0<ω<1，∴函数f(x)的最小正周期T>2π.∵对任意x∈R，f(1)≤f(x)≤f(6)，∴f(1)＝－1，f(6)＝1，函数f(x)在区间[1,6]上单调递增，∴＝6－1＝5，即T＝10.∴f(1016) 2＝f(6)，f(1017)＝f(7)．又∵函数f(x)的图象关于直线x＝6对称，∴f(1017)＝f(7)＝f(5)．∵函数f(x)在区间[1,6]上单调递增，∴f(5) π 2．(2024·宁夏银川高三下学期质检)将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向左平移个 8单位得到g(x)的图象，则g(x)在下列哪个区间上单调递减( ) T?π?A.?－，0? ?2??π?C.?0，? 2?? 答案 C B.?D.? ?π，9π? ??1616??π，π? ??2? π?π?解析 将函数f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin?2x＋?的图象向左平移个单位得到g(x)4?8?π???π?π???π?＝2sin?2?x＋?＋?＝2sin?2x＋?＝2cos2x，在区间?－，0?上，则2x∈[－π， 8?4?2???2??? ?π9π??π9π?0]，g(x)单调递增，故A不满足条件；在区间?，?上，则2x∈?，?，g(x)不单调， 8??1616??8 - 8 - ?π?故B不满足条件；在区间?0，?上，则2x∈[0，π]，g(x)单调递减，故C满足条件；在区 2?? 间? ?π，π?上，则2x∈[π，2π]，g(x)单调递增，故D不满足条件．故选C. ??2? 3．(2024·新疆乌鲁木齐高三第二次质量检测)若关于x的方程(sinx＋cosx)＋cos2x＝ 2 m在区间[0，π)上有两个根x1，x2，且|x1－x2|≥，则实数m的取值范围是( ) A．[0,2) C．[1，2＋1] 答案 B 解析 关于x的方程(sinx＋cosx)＋cos2x＝m在区间[0，π)上有两个根x1，x2，方程π?m－1π?m－1??即sin2x＋cos2x＝m－1，即sin?2x＋?＝，∴sin?2x＋?＝在区间[0，π)上有两 4?4???22ππ?3π5π??7π9π??π? 个根x1，x2，且|x1－x2|≥.∵x∈[0，π)，∴2x＋∈?，?∪?，?∪??，∴ 4??44??4?44?4－ 2m－12 ≤≤，求得0≤m≤2.故选B. 222 真题押题 『真题模拟』 1．(2024·新乡市二模)已知sinθ＋2cosθ＝－2，那么cosθ－2sinθ＝( ) A．1 C．－1 答案 A 解析 因为sinθ＋2cosθ＋2＝0，所以cosθ－2cosθ－3＝0，解得cosθ＝－1或cosθ＝3(舍去)，所以sinθ＝0，所以cosθ－2sinθ＝1.故选A. 2．(2024·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 2 2 2 2 2 2 π 4 B．[0,2] D．[1，2＋1) B．－2 D．2 g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g??＝2，则f??＝( ) ?4??8? A．－2 C.2 答案 C 解析 因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.1?1?又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g(x)＝Asin?ωx?，且g(x)的最小正周期为2π，所以ω2?2? B．－2 D．2 ?π??3π? - 9 - π2?π?＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，所以g??＝Asin＝A＝2，所以A＝2.所以f(x)＝42?4?2sin2x，所以f? ?3π?＝2.故选C. ??8? π??3. (2024·汉中市高三教学质量第二次检测)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)?ω>0，|φ| ?11π＋2kπ，π＋2kπ?(k∈Z) A.?－?12?12??11π＋kπ，π＋kπ?(k∈Z) B.?－?12?12? π?5π?C.?－＋2kπ，＋2kπ?(k∈Z) 12?12?π?5π?D.?－＋kπ，＋kπ?(k∈Z) 12?12?答案 D 解析 由图可知，图象过?π??ω＝2；图象过?，0?， ?3? ππ?π?∴cos?2×＋φ?＝0，根据题中图象可得2×＋φ＝2mπ＋(m∈Z)，即φ＝2mπ－332??π?ππππ?.因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos?2x－?，当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k6?6266?5ππ ∈Z)时，函数单调递增，化简得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．故选D. 1212 ?π，1?，?π，0??T＝π－π?T＝π，∵T＝2π，ω>0，∴???4312 |ω|?12??3? ?ππ?4．(2024·温州质检)函数f(x)＝2x－tanx在?－，?上的图象大致为( ) ?22? - 10 -
2024届高考数学大二轮复习专题二三角函数解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质练习文
