第1讲 三角函数的图象与性质
「考情研析」 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性． 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.
核心知识回顾
1.同角关系式与诱导公式
01sin2α＋cos2α＝1， (1)同角三角函数的基本关系：□sinα02□＝tanα.
cosα(2)诱导公式：在
kπ
2
03奇变偶不变，符号看象限”． ＋α，k∈Z的诱导公式中“□2．三种三角函数的性质
- 1 -
3．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
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考向1 同角三角关系式、诱导公式
15
例1 (1)(2019·临川第一中学等九校高三3月联考)已知α∈(0，π)，且cosα＝－，17则sin?
?π＋α?tan(π＋α)＝( )
?
?2?
151588A．－ B. C．－ D. 17171717答案 D
?π?解析 sin?＋α?tan(π＋α)＝cosαtanα＝sinα，
?2?
15
因为α∈(0，π)，且cosα＝－，
17
- 2 -
所以sinα＝1－cosα＝
2
?15?28
1－?－?＝.故选D. ?17?17
(2)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝( ) A．－1 C.2 2
B．－D．1
2 2
答案 A
解析 因为sinα－cosα＝2，所以(sinα－cosα)＝2，所以sin2α＝－1.因为α3π3π
∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝，即α＝，故tanα＝－1.
24
2
?π?(3)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos?＋β?＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π
?2?
＋β)－1＝0，则sinα＝( )
A.C.35
5310
10
37B. 735D．－
3
答案 C
解析 由已知可得，－2tanα＋3sinβ＋5＝0， ① tanα－6sinβ－1＝0， ②
310
①×2＋②得tanα＝3.∵α为锐角，∴sinα＝.故选C.
10
(1)利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(3)关于sinα，cosα的齐次式，往往转化为关于tanα的式子求解．
π?4?π??1．(2019·内江市高三第三次模拟)已知α∈?，π?，sinα＝，则tan?α＋?＝
4?5?2??( )
A．7
1
B. 7
2
- 3 -
C．－7 答案 D
1D．－
7
π?434?π??解析 ∵α∈?，π?，sinα＝，∴cosα＝－，∴tanα＝－.∴tan?α＋?＝4?553?2??4
－＋131
＝－.故选D.
7?4?1－?－?×1
?3?
31
2．已知sin2α＝，则tanα＋等于( )
4tanα8
A. 3C.11 3
10B. 3D．4
答案 A
331sinα
解析 由sin2α＝2sinαcosα＝，可得sinαcosα＝，所以tanα＋＝＋48tanαcosαcosα18
＝＝.故选A. sinαsinαcosα3
3．如果f(tanx)＝sinx－5sinxcosx，那么f(2)＝________. 6
答案 －
5
sinx－5sinxcosxtanx－5tanx解析 ∵f(tanx)＝sinx－5sinxcosx＝＝，∴f(x)＝222sinx＋cosxtanx＋1
2
2
2
2
x2－5x6
，则f(2)＝－. 2
x＋15
考向2 三角函数的图象及应用
例2 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)将函数f(x)＝sin2x＋3cos2x图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，所得函数的一个对称中心可以是( )
?π?A.?－，0?
?3?
C.?
B．(0,0) D.?
?π，0?
??6??π，0?
??3?
答案 A
π??解析 f(x)＝sin2x＋3cos2x＝2sin?2x＋?，将横坐标伸长到原来的2倍，所得函数3??ππ?π?为g(x)＝2sin?x＋?，令x＋＝kπ(k∈Z)?x＝kπ－(k∈Z)，则对称中心为
3?33?
- 4 -
?kπ－π，0?，k∈Z，令k＝0，则其中一个对称中心为?－π，0?.故选A. ???3?3????
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为________．
π?5π?答案 ?－＋kπ，＋kπ?，k∈Z
12?12?
17ππ12π
解析 由函数的图象可得A＝2，T＝－＝·，解得ω＝2.再根据五点作图
41234ωπ?πππππ?法可知2×＋φ＝π，φ＝，所以f(x)＝2sin?2x＋?.由－＋2kπ≤2x＋≤＋
3?33232?5ππ
2kπ(k∈Z)，可得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
1212
1．解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法 (1)A，B由最值确定，即A＝最大值＋最小值
B＝.
2
T
(2)ω由函数周期确定，相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为，对称轴与相邻对2T
称中心之间的距离为. 4
(3)φ由图象上的特殊点确定，利用五点作图的五个特殊点直接确定． 2．三角函数图象平移问题处理策略
(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．
(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正负和它的平移要求．
(3)看移动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是??.
ω
π??1．(2019·唐山市高三第二次模拟)已知函数f(x)＝sin?2ωx－?(ω>0)的最小正周期3??π
为π，把f(x)的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为( )
3
最大值－最小值
，
2
?φ???
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2020届高考数学大二轮复习专题二三角函数解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质练习文
