西华大学2014年专升本
考试试题 （高等数学）
二、填空题（把答案填在括号中。本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）
1、设f?(0)?a,则limf(??x)?f(0)x?（ ?a ）
?x?0?2、设f(x)的一个原函数是sinx，则?xf?(x)dx?（ xcosx?sinx?C ） 3、微分方程y???5y??6y?3xe2x的特解可设为
（ y*?x(ax?b)e2x ）
?4、幂级数?(?x)n的和函数为（ e?x n?0n!）
5、设A???2?3?则????58?,A1?（ ?83???52?? ） 二、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打?，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）
1、点(0,0)是曲线y?sinx的拐点. ( √ ) 2、直线
x?12?y?3?1?z5与平面2x?y?5z?8?0相互垂直. ( √ )
3、如果函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内偏导数
?z?x,?z?y都存在，则函数z?f(x,y)在点(x0,y0) 处可微. ( ? )
??4、
?un是常数项级数，若limn收
n?1n??un?0,则
?un?1敛. ( ? )
5、设A,B是同型矩阵，则(A?B)(A?B)?A2?B2. ( ? )
三、求解下列各题（本大题共4小题，每小题6分，总计240分）
1、求极限sinxxlim?0?x.
解：limsinxsinxlnxx?0?x?xlim?0?e?elimsinxlnxx?0?
lnxlnxx?1?elimxx?0??elim?1limx?0?x?ex?0??x?2?e0?1.
2、求不定积分?xsinxcosxdx. 解：?xsinxcosxdx?12?xsin2xdx ??114?xdcos2x??4[xcos2x??cos2xdx]
??14[xcos2x?12sin2x]?C
3、求定积分
?ln20ex?1dx.
解：令t?ex?1，则x?ln(1?t2)， 故
?ln2x0e?1dx??12t0t1?t2dt ?2?1t2?1t2?1?101?t2dt?201?t2dt
?2(t?arctant)1?0?2(1?4).
4、设z?xyf(x2?y,x?y2),其中f是可微函数，求
?z?x,?z?y. 解：
?z?x?yf(x2?y,x?y2)?xy(2xf1??f2?), ?z?y?xf(x2?y,x?y2)?xy(f1??2yf2?). 四、解答题（本大题共6小题，每小题6分，总计36分）
?1 1 、设 f ( x )???x2sin,x?0,在x?0?x处可导，求?ax?b,x?0 a,b的值.
解：因为f(x)在x?0处可导，故f(x)在x?0处
连续。即limx?0f(x)?f(0)?b.
又lim21x?0f(x)?xlim?0?f(x)?limx?0?xsinx?0.因此b?0.
又f??(0)?f??(0)，
f?limf(x)?f(0)??(0)x?0?x?limax?b?0x?0?x?a, f(0)?f(x)?f(0)??xlim?0?xx2sin1?xlimx?0?0?x?limx?0?xsin1x?0, 故a?0. 2求微分方程y??2y?e?x?0的通解.
解
：
通
解
为
y?e??2dx[?e?xe?2dxdx?C]?e?2x[?e?xe2xdx?C]?e?2x(ex?C)
3、判断下列正项级数的敛散性.
?(1)?3?(?1)n n?13n解：因为0?3?(?1)n?3n?43n，又?4收敛（等比n?13n级数）， ?n由比较审敛法得
?3?(?1)收敛。 n?13n (2)
??ln(1?1n?1n) ln(1?1解：因为limn)??1，又?1发散，由比较
n??1n?1nn—
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?审敛法的极限形式得?ln(1?1n)发散。
n?14、计算二重积分
??sinx2?y2dxdy，其中DD??(x,y)|?2?x2?y2?4?2}.
解
：
??sinx2?y2dxdy???sinrrdrd?DD??2?d??2?rsinrdr?2?2?0???rsinrdr
??2??2??rdcosr??2?[rcosr2?????2?cosrdr]??2?[2??(??)?sinr2??]??6?2.
5、求I??L(x?ey)dx?(y?xey)dy，其中L是圆
周x2?y2?2x从点A(2,0)到原点O(0,0)的一段弧. 解
：
P(x,y)?x?ey,Q(x,y)?y?xey，
?P?y?ey,?Q?x?ey,故?P?Q?y??x，曲线积分与路径无关。选择新路径AO，故
I??L??uAOuur(x?ey)dx?(y?xey)dy??02(x?1)dx??4.
?ax1?2x2?3x3?4,6、当a,b取何值时，方程组??2x2?bx3?2,,??2ax1?2x2?3x3?6有唯一解、无解、有无穷多解？
解：增广矩阵
2
?a234??a234(A|B)???02b2??????02b2??
??2a236????0?2?3?2???34??a2??02b2??00b?30? ???当b?3时，r(A|B)?r(A)?2?3，方程组有无穷多个解。
当b?3时，r(A|B)?r(A)?3，方程组有唯一解。 五、证明题（本大题共3小题，每题5分，总计15分）
1、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)?0,又
g(x)??xf(t)dt?x1a?bf(t)dt，证明：g(x)?0在(a,b)内有且仅有一个根.
证明：易知g(x)在[a,b]上连续，
g(a)??a1f(t)dt???b1baf(t)dt?0,g(b)??baf(t)dt??0,g(a)g(b)?0，
故由零点定理得，方程g(x)?0在(a,b)内至少存在一个根。 又g?(x)?f(x)?1f(x)?0,故方程g(x)?0在(a,b)内最多有一个根。
综上所述，方程g(x)?0在(a,b)内有且仅有一个根.
2、求证：当x?0时，有不等式
x1?x?ln(1?x)?x. 证明：设f(x)?ln(1?x)，易知函数f(x)在[0,x]— 精选文库
上连续，在(0,x)内可导且f?(x)?11?x， 由拉格朗日中值定理得：f(x)?f(0)?xf?(?)，即f(x)?f(0)?x1??，其中0???x. 又
11?x?11???1，因此x1?x?ln(1?x)?x. }是等差数列，an?0，证明级数??3、已知{a1nn?1an发散.
证明：{an}是等差数列，an?0，故设
an?a1?(n?1)d,d?0。
???于是1??1，取v1n?，又
n?1ann?1a1?(n?1)dn1lima1?(n?1)d1n??1?d n???而1发散，由比较审敛法的极限形式得n?1n?1发
n?1an散。
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西华大学2014年专升本高等数学考试题(附答案)
