第四章 根轨迹法
反馈系统的稳定性由系统的闭环极点确定。研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，是分析系统和设计控制器的重要内容。参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上。
对于高阶系统，用解析方法说明这种影响，很困难，且不易理解。图解法是一种方便的近似方法。 l、基本内容和要点 （l）根轨迹的基本概念
根轨迹的定义。以二阶系统为例说明什么是根轨迹，怎样从根轨迹分析闭环零、极点与系统的性能。
（2）绘制根轨迹的基本规则
根轨迹的特点和性质。绘制以系统开环增益K为变量的根轨迹的规则与方法。常见的几种典型系统的根轨迹图。
（3）参数根轨迹
参数根轨迹的定义。多参变量根轨迹。多环系统的根轨迹。 （4）非最小相位系统的根轨迹
最小相位和非最小相位系统的定义和特点。非最小相位系统根轨迹的特点和绘制规则。 （5）含有延迟环节的系统的根轨迹
有延迟环节的系统的极轨迹特点及绘制规则。延迟环节的近似表达式及使用条件。 （6）基于根轨迹分析系统的响应
根轨迹的形状，零极点的位置与系统时域响应性能指标间的关系。几种常见的典型系统的零、极点分布与其暂态响应性能指标。
2、重点
（l）最小相位系统的以开环增益K为变量的根轨迹的特点及其绘制的规则和方法。 （2）系统根轨迹的形状，零、极点的分布与其时域响应性能指标的关系。 3、难点
对“根轨迹上所有的点只是可能的闭环极点”的理解以及非最小相位系统中含最高次冥项系数为负的因子时根轨迹的绘制。
4-1 根轨迹法的基本概念
1． 根轨迹概念
根轨迹法：根据参数变化0??，研究系统闭环极点变化轨迹的一种图解方法。即在参数变化时图解
特征方程。
近似作图；重要区域，如与虚轴的交点与实轴的交点等，根轨迹要准确；依据根轨迹图，可以确定合适的系统参数，为设计控制器提供依据。
例图4-1，研究系统的开环增益K的变化0??， 对闭环极点的影响。
2KK，闭环传递函数?(s)?2，
s(0.5s?1)s?2s?2Kk2??1，k?2K,0??。 特征方程s?2s?2K?0，根轨迹方程
s(s?2)该例的解析分析为s1??1?(1?2K)1/2，s2??1?(1?2K)1/2。参见图4-2。
开环传递函数G(s)?开环极点X，开环零点O；根轨迹上的箭头表示参数增大的方向。
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2． 根轨迹与系统性能 以图4-2为例，
(1) 稳定性： 根轨迹始终都处于S平面左半部，则无论参数取多大的值，闭环系统稳定；若在参
数的某些取值范围，有根轨迹段(闭环极点)处于S平面右半部，则闭环系统在该参数范围不稳定。根轨迹与虚轴的交点出的参数值，为参数临界值。
(2) 稳态性能：在研究开环增益K对闭环极点作用时，据在原点处的开环极点个数就可以知道系
统的误差型别。
(3) 动态性能：从根轨迹上的共轭复数极点，能够知道该振荡模态的阻尼系数，对高阶系统的动
态性能有粗略估计。
3． 根轨迹方程
根轨迹方程实际上是便于应用规则绘制根轨迹图的标准形式的特征方程。 例 已知负反馈开环传递函数：
G(s)H(s)?b0s?b1s???bm?1s?bm?nn?1s?a1s???an?1s?anmm?1k?(s?zj)m?(s?pi)i?1j?1nk?(s?zj)；根轨迹方程
m?(s?pi)i?1j?1n??1。
k—变化参数0??；需要知道开环零点zj和开环极点pi。
5(2Tas?1)； 研究参数Ta对系统闭环极点的作用。
s(5s?1)ks??1，k?2Ta。 特征方程s2?0.2s?1?Tas?0；根轨迹方程2s?0.2s?12例已知负反馈开环传递函数：G(s)H(s)?； 研究参数T对系统闭环极点的作用。
s(s?1)(Ts?1)1k(s2?s?2)22k?特征方程Ts(s?1)?s?s?2?0；根轨迹方程，。 ??12Ts(s?1)例 已知负反馈开环传递函数：G(s)H(s)?根轨迹方程(180o)等式右边为-1(0o,+1)；分母的阶次大于等于分子的阶次；变化的参数以规范形式
k出现在分子上。
幅值条件：
kB(s)A(s)?|(s?zj)|?km?|(s?pi)|i?1j?1n?1；相角条件：??(s?zj)???(s?pi)?180?。
j?1i?1mn复平面S上的一点处于根轨迹上，必须满足根轨迹方程；幅值条件：幅值等于1，由于k是变化的，幅值条件总能满足；相角条件：相角应等于180o(或0o)。绘制根轨迹时，依据的条件是相角条件。 4． 根轨迹法中常用术语
(1) 根轨迹；
(2) 根轨迹的起点和终点；(起点为开环极点，终点为开环零点或无穷远处) (3) 根轨迹的分支数；(等于开环极点的个数，两条根轨迹不相交)
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(4) 根轨迹的分离点与汇合点。(闭环重极点，重和点)
4-2 根轨迹绘制的基本规则(180O)
遵循一些作图规则，能够方便地绘制近似的根轨迹图形。根据系统的方框图，列写系统的特征方程，再根据变化的参数写出规范的根轨迹方程。 1. 绘制根轨迹的基本规则
规则1：根轨迹的起点和终点；根轨迹始于开环极点，终止于开环零点或无穷远处；证明见P141的式
(4-11)及其变换形式。
规则2：根轨迹的分支数对称性和连续性；分支数与开环极点个数相等；根轨迹关于实轴对称；根轨迹
是连续的。利用对称性，只需认真绘制(计算)一半根轨迹另一半对称画出。
规则3：根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角)；在开环极点数n大于开环零点数时，有n?m条渐近
线，表示终止于无穷远处的根轨迹分支所渐近的直线。这些渐近线与实轴相交与同一点，与实轴的夹角满足相角条件。
简要说明如下：对于S平面上无穷远处的闭环极点来说，系统的开环极点和开环零点，近似重叠在一点，又考虑到极点与零点对相角的作用相反，即等效于n?m个开环极点重叠在一起，则有
?a?{?pi??zj}/(n?m)；(n?m)?(s??a)?(2l?1)?，?l?(2l?1)?/(n?m)。
i?1j?1nm注：只有在(n?m)?2时，需要计算渐近线与实轴的交点和夹角。
规则4：根轨迹在实轴上的分布；实轴上的一点s??在根轨迹上的充要条件是，该点右侧实开环极点
和实开环零点的总数为奇数。
kB(s)dA(s)?0，x??1；
dsB(s)A(s)k(s?1)k(s?1)??1。 例4-1 负反馈系统的开环传递函数为G(s)?，
s(s?2)(s?3)s(s?2)(s?3)* p1?0，p2??2，P3??3，z1??1；n?m?2； * 两条渐近线，?a??2，?a??90?； * 实轴上的根轨迹，(?3,?2)，(?1,0)；
32* 与实轴的交点，s?4s?5s?3?0， p1 p2 z1 p3 )； ?x??2.46557，(?0.76721?j0.79255kx?0.41859(试探法计算实数交点)
规则5：根轨迹与实轴的交点；交点为重极点，满足方程 例4-2负反馈系统的开环传递函数为
K(0.5s?1)k(s?2)??1，k?K； ，220.5s?s?1s?2s?2* p1,2??1?j，z1??2；n?m?1； * 实轴上的根轨迹，(??,?2)；
2* 与实轴的交点，s?4S?2?0，
?x??3.414，kx?4.828；(舍去?x??0.586) G(s)?注：具有一个开环零点的二阶根轨迹方程，实轴外的根轨迹是圆周的一部分。
p1 -1 p2 1 z1 -1 27
规则6：根轨迹的起始角和终止角(开环极点的出射角和开环零点的入射角) 由相角条件导出；
?(s?pl)?(2k?1)????(s?zj)?j?1mi?1,i?l??(s?pi)；
Im 2 n记为 ?pl?(2k?1)????(pl?zj)???(pl?pi)； j?1nmn同理有 ?zl?(2k?1)????(zl?pi)???(zl?zj)。 i?1j?1,j?li?1,i?lm例4-3负反馈系统的开环传递函数为
1 k(s?1.5)(s2?4s?5)G(s)???1 2s(s?2.5)(s?s?2.5)* p1?0，p2??2.5，p3,4??0.5?j1.5 z1??1.5，z2,3??2?j；n?m?1； * 实轴上的根轨迹，(??,?2.5)，(?1.5,0)； * 与实轴的交点， 方程无实根。
-2 s6?11s5?47.25s4?94.5s3?99.375s2?75s?46.875?0 (?3.689?j1.562)，(?1.775?j0.452)，(?0.03569?j0.932)
* ?p3?180???(1?j1.5)??(1.5?j0.5)??(1.5?j2.5)??(?0.5?j1.5)??(2?j1.5)?90??78.5?。
-3 -2 -1 0 Re -1 ?z2?180???(?2?j)??(0.5?j)??(?1.5?j0.5)??(?1.5?j2.5)??(?0.5?j)?90??509.7??149.7?。
规则7：根轨迹与虚轴的交点；即虚轴上的点s?j?，满足特征(根轨迹)方程。由实部和虚部方程解
出交点?c和kc。
例4-4 负反馈系统的开环传递函数为
G(s)?k??1 2s(s?3)(s?2s?2)32*p1,2??1?j，p3?0，p4??3；n?m?4；*渐近线，?a??1.25；?a??45?,?135?； *实轴上的根轨迹，(?3,0)；*与实轴交点，s?3.75s?4s?1.5?0，?x??2.2886，kx?4.332。 * 起始角?p1?180?90??135??26.6???71.6?；
42* 与虚轴交点， Re: ??8??k?0；Im：?(5?2?6)?0；?c??1.095，kc?8.16； 根轨迹图见P151图4-13。
规则8：闭环极点之和，在n?m?2的条件下，闭环极点之和与开环极点之和相等。即随着k增大，
一部分极点向左移动时，另一部分极点向右移动。
2. 闭环极点的确定
据多项式系数与多项式零点的关系，在已知部分极点时，可以求出剩余极点。
例4-5 继例4-4，(1) 已知闭环极点s1,2??j1.095及对应的kc?8.16，计算剩余的2个闭环极点。
s1?s2?s3?s4?p1?p2?p3?p4；s1s2s3s4?kc；
s3?s4??5，s3s4?6.8055；解得 s3,4??2.5?j0.745
(2) 已知闭环极点s1,2??2.2886及对应的kx?4.332，计算剩余的2个闭环极点。
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s3?s4??0.4228，s3s4?0.8271；解得 s3,4??0.2114?j0.8845
(3) 试确定k?4的闭环极点。
432特征方程s?5s?8s?6s?4?0；
由?x??2.2886，kx?4.332，得知：该方程在(?3,?2.288)和(?2.288,0)区间上各有一个接近?2.288的实根。试探法计算出实根s1??2，s2??2.52138后，得 s3,4??0.23931 ?j0.85787。
四次代数方程有解析解，即有求解公式。
关于“图4-15 开环零极点分布及相应的180°根轨迹图”： (1) 依据开环零点、极点分布，列写系统的根轨迹方程；
(2) 未知参数以最短(或方便)的线段作为长度单位，记为1(或a?0)； (3) 根据基本规则绘制概略根轨迹图； (4) 千万不要死记硬背。
k；
s(s?a)(s?2a)kG3(s)?；
s(s?2a)(s2?2as?2a2)kG5(s)?；
s(s?3a)(s2?2as?2a2)k(s?0.5a)G7(s)?2；
(s?2as?5a2)k(s?4a)G9(s)?；
s(s?2a)(s2?2as?2a2)k(s2?2as?5a2)； G11(s)?s(s?2a)(s?4a)G1(s)?(1) 正方形: G3(s)?
k；
(s?0.5a)(s2?2as?2a2)kG3(s)?2；
(s?2as?5a2)(s2?4as?5a2)kG6(s)?；
s(s?2a)(s?4a)(s2?2as?2a2)k(s?1.5a)G3(s)?；
(s?0.5a)(s2?2as?2a2)k(s?a)G10(s)?2；
(s?2as?5a2)(s2?4as?5a2)k(s?2a)(s?3a)G12(s)?。
s(s?a)G2(s)?讨论：开环极点分布在四边形的4个顶点上的根轨迹，四边形的一条对角线在实轴上。
k；
s(s?2a)(s2?2as?2a2)计算闭环重极点的方程 A?(s)?4(s?a)?0，即闭环系统只在S平面的s??a处有4重极点，
p1?0，p2??2a，p3,4??a?ja；s1,2,3,4??x??a，kx?a4。
k(2) 长对角线与实轴垂直G3c(s)?； 22s(s?2a)(s?2as?5a)A?(s)?4(s?a)(s2?2as?2.5a2)?0；
?1??a，k1?4a4；?2,3?a(?1?j6/2)，k2?6.25a4； 4即，当k?4a时，闭环极点为s1,2??a，s3,4??a?j3a；
4当k?6.25a时，闭环极点为?1,2?(?1?j6/2)a，?3,4?(?1?j6/2)a；
k(2) 长对角线在实轴上G3s(s)?； 22s(s?2a)(s?2as?1.25a)A?(s)?4(s?a)(s2?2as?0.625a2)?0；
?1??a，k1?0.25a4；?2,3?a(?1?6/4)，k2?0.390625a4；
4即，当k?0.25a时，闭环极点为s1,2??a，s3,4?(?1?3/2)a；
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自动控制原理第四章根轨迹法
