北京市海淀区2021届新高考二诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
?kx,x?0?1．记f(x)?x?[x]其中[x]表示不大于x的最大整数g(x)??1，若方程在f(x)?g(x)在[?5,5]?,x?0??x有7个不同的实数根，则实数k的取值范围( ) A．?,?
65【答案】D 【解析】 【分析】
做出函数f(x),g(x)的图象，问题转化为函数f(x),g(x)的图象在[?5,5]有7个交点，而函数f(x),g(x)在[?5,0]上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】
作出函数f(x),g(x)的图象如图所示，由图可知
?11?
??
B．??11?, ?65??C．?,?11?? ?54?D．?,?11?? ?54?
方程f(x)?g(x)在[?5,0]上有3个不同的实数根， 则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线y?kx经过(4,1)时，k?当直线y?kx经过(5,1)时，k?可知当
1； 41， 511?k?时，直线y?kx与f(x)的图象在[0,5]上有4个交点， 54即方程f(x)?g(x)，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】
本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.
2x?2?x2．函数y?的图像大致为（ ）.
x?cosxA． B．
C． D．
【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由f???5???5????f???排除选项D； 22???????0排除选项C; ??5?f根据特殊值??2由x?0,且x无限接近于0时, f?x??0排除选项B； 【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数f?x??5?25?22x?2?x? y?,
x?cosx5?2?5?2?5?f则???2?5?f即???2?2?2??5??2????f??5?f,??2?2?2??5??2;
?5????.故选项D排除; ?2??5?f对于选项C：因为??2?2?2??5??25?2?5?2?0,故选项C排除;
对于选项B:当x?0,且x无限接近于0时,x?cosx接近于?1?0,2x?2?x?0，此时f?x??0.故选项B排除; 故选项:A 【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
3．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A．120种 【答案】B 【解析】 【分析】
首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】
11C52C3C2?10种分组方法； 将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：3A34将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：A4?24种分配方法；
B．240种 C．480种 D．600种
由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：10?24?240种 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.
4．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．1 【答案】A 【解析】 【分析】
B．
4 3C．3 D．4
采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果. 【详解】
根据三视图可知：该几何体为三棱锥 如图
该几何体为三棱锥A?BCD，长度如上图
111?1?2?1,S?BCN??1?1? 2223所以S?BCD?2?2?S?MBD?S?DEC?S?BCN?
21所以VA?BCD??S?BCD?AN?1
3所以S?MBD?S?DEC?故选：A 【点睛】
本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.
5．已知复数z满足z?1?i??1?i（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A．?i 【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数z满足z?1?i??1?i，利用复数的除法求得z，再根据复数的概念求解. 【详解】
因为复数z满足z?1?i??1?i，
B．i
C．1
D．?1
?1?i???i， 1?i所以z??1?i?1?i??1?i?所以z的虚部为?1. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2?x?2y?2?0?6．若x、y满足约束条件?x?y?1?0，则z?3x?2y的最大值为（ ）
?y?0?A．5 【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线z?3x?2y，找出直线在y轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】
B．9
C．6
D．12
?x?2y?2?0?作出满足约束条件?x?y?1?0的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．
?y?0?
由z?3x?2y，得y??3z3z3zx?，平移直线y??x?，当直线y??x?经过点?2,0?时，该直222222线在y轴上的截距最大，此时z取最大值， 即zmax?3?2?2?0?6. 故选：C. 【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
北京市海淀区2021届新高考二诊数学试题含解析
