(新课程)高中数学《2.2.2反证法》评估训练 新人教A版选修2-2

2.2.2 反证法

双基达标

限时20分钟

1．实数a，b，c不全为0等价于 ( )．

A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0

解析 不全为0即至少有一个不为0，故选D. 答案 D

2．下列命题错误的是 ( )．

A．三角形中至少有一个内角不小于60° B．四面体的三组对棱都是异面直线

C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数

解析 a＋b为奇数?a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误． 答案 D

111

3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数

yzx( )．

A．至少有一个不大于2 C．至少有一个不小于2

B．都小于2 D．都大于2

解析 若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①， 111

而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，

xyz

显然①，②矛盾，所以C正确． 答案 C

4．命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是________． 答案 a≤b

5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________． 答案 至少有两个内角是直角

6．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．

证明 假设AC⊥平面SOB，如图， ∵直线SO在平面SOB内， ∴SO⊥AC.

∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面SAB. ∴平面SAB∥底面圆O.

这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直． 综合提高

限时25分钟

7．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b为异面直线，则 ( )．

A．a，b都与l相交

B．a，b中至少有一条与l相交 C．a，b中至多有一条与l相交 D．a，b都不与l相交

解析 逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B. 答案 B

8．以下各数不能构成等差数列的是 ( )． A．3,4,5

B.2，3，5

C．3,6,9 D.2，2，2

解析 假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列． 答案 B

9．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．

解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．

答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

10．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．

解析 “a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”． 答案 a，b不全为0

11．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根． 证明 设f(x)＝0有一个整数根k，则 ak2＋bk＝－c.①

又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数， ∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾； 当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，

则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．

x212．(创新拓展)已知函数f(x)＝，如果数列{an}满足a1＝4，an＋1＝f(an)，求

2x－2证：当n≥2时，恒有an<3成立．

a2n

证明 法一(直接证法) 由an＋1＝f(an)得an＋1＝，

2an－222?11?211

∴＝－2＋＝－2?－?＋≤， an＋1anan?an2?221