综合实验
[学习目的]
1． 学习对数学知识的综合运用； 2． 学习数学建模——数学应用的全过程； 3． 培养实际应用所需要的双向翻译能力。
工科数学而言，学习数学的最终目的应落实在数学的实际应用上，尽管数学也应将训练学生的抽象思维能力为目的，但这也许作为课堂教学的重要内容更为实际可行些，数学实验应注重学生对数学的应用能力——数学建模能力的培养、注意科学研究方法上的培养。
§15.1
[学习目标]
1. 能表述水箱水流量问题的分析过程； 2. 能表述模型的建立方法；
3. 会利用曲线拟合计算水箱的水流量；
4. 会利用Mathematica进行数据拟合、作图和进行误差估计。
一、 问题 许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位。试通过测得的某时刻水箱中水位的数据，估计在任意时刻（包括水泵灌水期间）t流出水箱的流量f（t）。 给出下面原始数据表，其中长度单位为E（1E=30.24cm）。水箱为圆柱体，其直径为57E。 时间（s） 0 3316 6635 10619 13937 17921 21240 25223 28543 32284 35932 39332 39435 43318 假设： 1． 影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求； 2． 水泵的灌水速度为常数； 3． 从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度； 4． 每天的用水量分布都是相似的； 5． 水箱的流水速度可用光滑曲线来近似； 水位（10 –2E） 3175 3110 3054 2994 2947 2892 2850 2795 2752 2697 泵水 泵水 3550 3445 时间（s） 44636 49953 53936 57254 60574 64554 68535 71854 75021 79254 82649 85968 89953 93270 水位（10 -2E） 3350 3260 3167 3087 3012 2927 2842 2767 2697 泵水 泵水 3475 3397 3340 水箱水流量问题
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6． 当水箱的水容量达到514.8×103g时，开始泵水；达到667.6×103g时，便停止泵水。
二、 问题分析与建立模型
1.引入如下记号： V——水的容积； Vi——时刻ti（h）水的容积（单位G，1G=3.785L（升）； f（t）——时刻ti流出水箱的水的流速，它是时间的函数（G/h）； p——水泵的灌水速度（G/h）。 根据要求先将上表中的数据做变换，时间单位用小时（h），水位高转换成水的体积（V=πR2h），得下表。 时间（h） 0 0.921 1.843 2.950 3.871 4.978 5.900 7.001 7.929 8.968 9.981 10.926 10.954 12.033 水量（103G） 606.1 593.7 583.0 571.6 562.6 552.1 544.1 533.6 525.4 514.8 / / 677.6 657.7 时间（h） 12.954 13.876 14.982 15.904 16.826 17.932 19.038 49.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.987 25.908 水量（103G） 639.5 622.4 604.6 589.3 575.0 558.8 542.6 528.2 514.8 / / 663.4 648.5 637.6 注：第一段泵水的始停时间及水量为 t始=8.968（h），v始=514.8χ103（G） t末=10.926（h），v末=677.6χ103（G） 第二段泵水的始停时间及水量为 t始=20.839（h），v始=514.8χ103（G） t末=22.958（h），v末=677.6χ103（G） 2. 由于要求的是水箱流量与时间的关系，因此须由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度： 平均流速=（区间左端点的水量―区间右端点的水量）/区间中点值 得下表： 时间区间的中点值（h） 0.4606 1.382 2.396 3.411 4.425 5.439 6.45 7.468 平均流量（×103G/h） 14.0 12.0 10.0 9.6 9.6 8.9 9.6 8.9 141 / 7
8.448 9.474 10.45 10.94 11.49 12.49 13.42 14.43 15.44 16.37 17.38 18.49 19.50 20.40 21.43 22.49 23.42 24.43 25.45 做出散点图如图15-1。 10.0 / / / 18.6 20.0 19.0 16.0 16.0 16.0 14.0 14.0 16.0 15.0 / / / 14.0 12.0 图15-1 散点图
从图中可以看出数据分布不均匀，局部紧密，因此不能采用插值多项式处理数据，而用曲线拟合的最小二乘法。
三、 计算过程
1．算法：
第1步 输入数据{xi，yi}；
第2步 进行拟合； 第3步 作出散点图； 第4步 作出拟合函数图； 第5步 进行误差估算。
2．实现
在算法步2中使用Fit[ ]函数，步3、步4使用Plot[ ]，步5选用Integrate[ ]函数。
3．误差估计：
误差估算时，由于水泵的灌水速度为一常数，水箱中水的体积的平均变化速度等于水泵的灌水速度P减去此段时间从水箱中流出的平均速度。即 ?V应近似?t142 / 7 f(t)dt? P??V/?t? ?t 此处f（t）在Δt区间的两端点间进行积分。 如果此模型确实准确地模拟了这些数据，那么在不同的灌水周期中，按此模型计算出的水泵灌水速度应近似为常数。下面通过水泵开始和停止工作的两段区间，即t∈[8.968，10.926] 及t∈[20.839，22.958]来进行检验。 第一段： 对应于 t始=8.968（h）， t末=10.926（h） 水量分别为 v始=514800（G），v末=677600（G） 故 ΔV1=677600-514800=162800（G） Δt1=10.926-8.986=1.958（h） 第二段： 对应于 t始=20.839（h）， t末=22.958（h） 水量分别为 v始=514800（G）， v末=677600（G） 故 ΔV2=677600-514800=162800（G） Δt2=22.958-20.839=2.119（h） ?V2=76830（G/h） ?t21?t11?t2?V1=83150（G/h） ?t1 P1=83150+ P2=76830+ ??P1?P2 P2?10.9268.968f(t)dt ?22.95820.839f(t)dt 四、 结果分析 通过水泵开始和停止工作的两段时间检验水泵灌水速度应近似为常数；其中由{1，x，x2，x3，…，x8}拟合的函数f（t）所产生的误差为8.217%，由{1，x3，x5，sin(0.1x)，cos(0.1x)}拟合达到8.224%。由此可见如选择不同的基函数，将得不同的误差。但是只要基函数选择恰当，所产生的误差也可以保持为相对稳定最小常数来支持该模型。 同时，一旦确定了最佳f（t），我们便可通过Integrate[ ]函数估算出一天的用水总量，从而根据常规每1000人用水量来推测出该地区的人口数，另外，还可求得水箱的平均流速。 143 / 7
评价 1．优点：
（1） 任意时刻从水箱中流出的水速都可通过该模型计算出来； （2） 可推测几天的流速；
（3） 可以将该建模过程推广到用电及用气的估算上。 2．缺点：
（1） 如能知道水泵的抽水速度，就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速； （2） 通过考虑体积测量的差异建模，该作法包含着某种不准确性。 源程序：
L={{0.460，14.0}，{1.382，12.0}，{2.396，10.0}，{3.411，9.6}， {4.425，9.6}，{5.439，8.9}，{6.45，9.6}，{7.468，8.9}， {8.448，10.0}，{11.49，18.6}，{12.49，20.0}，{13.42，19.0}， {14.43，16.0}，{15.44，16.0}，{16.37，16.0}，{17.38，14.0}， {18.49，14.0}，{19.50，16.0}，{20.40，15.0}，{24.43，14.0}， {25.45，12.0}}
fx=Fit[L，{1，x^3，x^5，Sin[0.1x]，Cos[0.1x]}，x] graph1=ListPlot[L，DisplayFunction→Identity]
graph2=ListPlot[fx，{x，0.46，25.45}，DisplayFunction→Identity]； Show[graph1，graph2，DisplayFunction→$DisplayFunction， PlotRange→All]
图15-2 水箱水流量拟合图
v1=677600-514800； t2=10.926-8.968； m1=v1/t1； v2=677600-514800； t1=22.958-20.839； m2=v2/t2；
p1=m1+Integrate[fx，{x，8.968，10.926}]/t1 p2=m2+Integrate[fx，{x，20.839，22.958}]/t2 %=（p1-p2）p2
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水箱水流量问题-第二十章建立数学建模案例分析
