2.9 函数与方程
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1．已知函数f (x)＝－log2x，则f (x)的零点所在的区间是( )
xA．(0,1) C．(3,4) 答案 C
B．(2,3) D．(4，＋∞)
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解析 易知f (x)是单调函数，f (3)＝2－log23>0，f (4)＝－log24＝－2＝－<0，
222故f (x)的零点所在的区间是(3,4)．
2．函数f (x)＝x·cos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A．2B．3C．4D．5 答案 D
解析 借助余弦函数的图象求解．f (x)＝x·cos 2x＝0?x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0π3π5π7π
在[0,2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点．
44443．函数f (x)＝x－cosx在[0，＋∞)内( ) A．没有零点 C．有且仅有两个零点 答案 B
1
解析 当x∈(0，1]时，因为f′(x)＝＋sinx，x>0，sinx>0，所以f′(x)>0，故f (x)
2x在[0,1]上单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos1>0，所以f (x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，f (x)＝x－cosx>0，故函数f (x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.
2x4．(2020·青岛模拟)若函数f (x)＝2－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范
B．有且仅有一个零点 D．有无穷多个零点
x围是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 答案 C
解析 由条件可知f (1)·f (2)<0， 即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，
- 1 -
解得0 1，x≤0，?? 5．已知函数f (x)＝?1 ，x>0，??xA．(1,2) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案 D 1 解析 当x≤0时，x＋f (x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f (x)＝m，即x＋ 则使方程x＋f (x)＝m有解的实数m的取值范围是( ) B．(－∞，－2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞) x＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D. 6．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f (x)＝2019－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( ) A．a>c>b>d C．c>d>a>b 答案 D 解析 f (x)＝2 019－(x－a)(x－b)，又f (a)＝f (b)＝2 019，c，d为函数f (x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x)的大致图象，如图所示，由图可知 B．a>b>c>d D．c>a>b>d c>a>b>d，故选D. ?－x－2x，x≤0，? 7．(多选)已知函数f (x)＝? ??|log2x|，x>0， 2 若x1＜x2＜x3＜x4，且f (x1)＝f (x2)＝f (x3) ＝f (x4)，则下列结论正确的是( ) A．x1＋x2＝－1 C．1＜x4＜2 答案 BCD ??－x－2x，x≤0， 解析 由函数f (x)＝? ?|log2x|，x>0，? 2 B．x3x4＝1 D．0＜x1x2x3x4＜1 作出其函数图象： 由图可知，x1＋x2＝－2，－2＜x1＜－1； - 2 - 1 当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝，2， 21 所以＜x3＜1＜x4＜2； 2 由f (x3)＝f (x4)，有|log2x3|＝|log2x4|， 即log2x3＋log2x4＝0， 所以x3x4＝1， 则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)＋1∈(0,1)；故选BCD. 8．(多选)设函数f (x)＝A．1B．2C．3D．4 答案 BCD 解析 ①当a＝1时，f (x)＝－ln|x|，函数f (x)是偶函数， 2e 2 ax2 2e －ln|ax|(a＞0)，若f (x)有4个零点，则a的可能取值有( ) x2 x1?x－e??x＋e? 当x＞0时，f (x)＝－lnx，f′(x)＝－＝，f (x)在(0，e)上递减，在 2eexex(e，＋∞)上递增， x2 f (x)min＝f (e)＝0，x＞0时，有一个交点，所以f (x)共有2个零点，故不成立， 2x12x－e ②当a＝2时，当x＞0时，f (x)＝－ln2x，f′(x)＝－＝＝eexexx2 2 2?x－? ? e????x＋2??exe??2? ， f (x)在?0，f (x)min＝f ? ? ?e???上递减，在?2??e? ，＋∞?上递增， 2? ? ?e?1 ?＝(1－ln2e)＜0有两个交点， 2?2 所以共有4个零点，故成立， 同理可得a＝3，a＝4时成立． 9．(2019·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f (x)－g(x)的零点个数是________． 答案 2 解析 作出函数f (x)与g(x)的图象如图所示，可知两函数图象有两个不同的交点． ??2－a，x≤0，10．若函数f (x)＝? ?lnx，x>0? x 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________． - 3 - 答案 (0,1] 解析 当x>0时，由f (x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f (x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f (x)＝2－a有一个零点．令f (x)＝0，得a＝2.因为0<2≤2＝1，所以0 11．关于x的二次方程x＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围． 解 显然x＝0不是方程x＋(m－1)x＋1＝0的解， 1 当0 22 xxx0 x1 又∵y＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增， x1 ∴y＝x＋在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)， x∴1－m≥2，∴m≤－1， 故m的取值范围是(－∞，－1]． ?1?12．(2019·长沙质检)设函数f (x)＝?1－?(x>0)． ? x? (1)作出函数f (x)的图象； 11 (2)当0 ab(3)若方程f (x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围． 解 (1)函数f (x)的图象如图所示． ?1?(2)因为f (x)＝?1－? ? x? 1 ??x－1，x∈?0，1]，＝?1 1－??x，x∈?1，＋∞?， 故f (x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， 由0 且－1＝1－，所以＋＝2. abab(3)由函数f (x)的图象可知，当0 - 4 - 1x13．已知x0是函数f (x)＝2＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( ) 1－xA．f (x1)<0，f (x2)<0 C．f (x1)>0，f (x2)<0 答案 B 111 解析 设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝ 1－x1－xx－12在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f (x)<0，在(x0，＋∞)上f (x)>0，又∵x1∈(1， xB．f (x1)<0，f (x2)>0 D．f (x1)>0，f (x2)>0 x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f (x1)<0，f (x2)>0.故选B. ??x－4，x≥4， 14．(2019·福建福州三校联考)已知函数f (x)＝? ?－x＋4，x<4.? 若存在正实数k，使得方 程f (x)＝有三个互不相等的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是( ) A．(4,2＋22) C．(6,4＋22) 答案 D 解析 方程f (x)＝可化为xf (x)＝k， ??x－4x，x≥4， 令g(x)＝xf (x)，则g(x)＝?2 ?－x＋4x，x<4.? 2 kxB．(4,6＋22) D．(8,6＋22) kx 作出g(x)的图象，如图所示． 方程xf (x)＝k有三个互不相等的实根x1，x2，x3，等价于函数g(x)的图象与直线y＝k有三个不同的交点，结合图象知0 2 2 x1＋x2 2 ＝2，即x1＋x2＝4. 令x－4x＝4，解得x＝2±22，所以4 - 5 -
(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第二章函数2.9函数与方程练习
