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半角模型
已知如图：①∠2=∠AOB；②OA=OB.
12O123FEA
连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE， 可得△OEF≌△OEF′
BOF'4123FEA
模型分析
∵△OBF ≌△OAF′， ∴∠3=∠4，OF=OF′.
∴∠2=∠AOB，
∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2
又∵OE是公共边， ∴△OEF≌△OEF′.
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.
12B
模型实例
例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N． （1）求证：BM+DN=MN．
（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．
证明：（1）延长ND到E，使DE=BM，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB． 在△ADE和△ABM中， ?AD?AB? ??ADE??B
?DE?BM? ∴△ADE≌△ABM．
∴AE=AM，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN和△AEN中， ?MA?EA? ??MAN??EAN
?AN?AN? ∴△AMN≌△AEN． ∴MN=EN．
∴BM+DN=DE+DN=EN=MN．
（2）由（1）知，△AMN≌△AEN． ∴S△AMN=S△AEN．
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