课时跟踪检测（十） 双曲线的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．双曲线2x－y＝8的实轴长是( ) A．2 C．4
B．22 D．42
2
2
解析：选C 双曲线方程可变形为－＝1，
48所以a＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( ) A.－＝1 2525C.－＝1 1616
2
x2y2
x2y2
y2x2
B.－＝1
99 D.－＝1
1616
x2y2x2
y2
解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，
设其方程为x－y＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝5－3＝16， 所以双曲线方程为x－y＝16，即－＝1.
1616
2
2
2
2
2
2
x2y2
x22
3．(2017·全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线2－y＝1的离心率的取值范围是( )
aA．(2，＋∞) C．(1，2)
B．(2，2) D．(1,2)
a2＋1
解析：选C 由题意得双曲线的离心率e＝.
aa2＋11即e＝2＝1＋2. aa2
1
∵a＞1，∴0＜2＜1，
a1
∴1＜1＋2＜2，∴1＜e＜2.
a4．若一双曲线与椭圆4x＋y＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )
A．y－3x＝36 C．3y－x＝36
2
2
2
2
22
B．x－3y＝36 D．3x－y＝36
2
2
22
1 / 9
解析：选A 椭圆4x＋y＝64可变形为＋＝1，
1664
22
x2y2
a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e＝则双曲线的焦点在y轴上，c′＝43，e′＝从而a′＝6，b′＝12，
故所求双曲线的方程为y－3x＝36.
2
2
2
3， 22， 3
x22
5．已知双曲线2－y＝1(a>0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程
a为( )
3
A．y＝±x
53
C．y＝±x
4
5
B．y＝±x
34
D．y＝±x
3
x22222
解析：选D 由双曲线方程为2－y＝1，知b＝1，c＝a＋1，
a∴2b＝2,2c＝2a＋1.
∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，
32
∴2a＋2c＝4b＝4，∴2a＋2a＋1＝4，解得a＝.
44
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
3
2x2y2
6．已知点(2,3)在双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
ab49222
解析：由题意知2－2＝1，c＝a＋b＝4，解得a＝1，
ab所以e＝＝2. 答案：2
cax2y25
7．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(25，0)，且离心率为e＝，则双曲线
ab2
的标准方程为________．
解析：由焦点坐标，知c＝25，由e＝＝
ca5
，可得a＝4， 2
2 / 9
所以b＝c－a＝2，
则双曲线的标准方程为－＝1.
164答案：－＝1
164
1
8．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
21
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
2∴可设双曲线的方程为x－4y＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)＝4， ∴双曲线的标准方程为－y＝1.
4
1
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而3<2，
21
∴点(4，3)在渐近线y＝x的下方，
21
在y＝－x的上方(如图)．
2∴双曲线的焦点在x轴上， 故可设双曲线方程为
2
2
2
22
x2y2
x2y2
x2
2
x2y2
－＝1(a>0，b>0)． a2b2
b1??a＝2，
由已知条件可得?163
??a－b＝1，
2
2
x2
??a＝4，
解得?2
?b＝1，?
2
∴双曲线的标准方程为－y＝1.
4答案：－y＝1
4
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
43(2)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；
6416
x2
2
x2
2
y2x2
y2
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2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测(十)双曲线的简单几何性质(含解析)新人教A版选修1 -
