人教版高中数学必修五课时提升作业（二） 1.1.2 余弦定理 探究导学课型 Word版含答案

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课时提升作业(二)

余弦定理

一、选择题(每小题3分，共18分)

1.(2014·潍坊高二检测)已知在△ABC中，C=120°，a，b是方程x-10x+24=0的两根，且b>a，则sinA=( )

2

A.B.

C. D.-

【解析】选A.由题意知?2

2

2

?a?b?10，

ab?24，?2

又因为c=a+b-2abcosC=(a+b)-2ab- 2abcosC=10-2×24-2×24cos 120°=76， 所以c=2

，

2

又=，所以sinA==.

2.(2013·天津高考)在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=( )

A. B. C. D.

【解题指南】先由余弦定理求AC边长，然后根据正弦定理求值.

【解析】选C.在△ABC中，由余弦定理得，AC=AB+BC-2AB·BC·cos

222

=2+9-2××3×=5，所以

AC=，由正弦定理得=，即=，所以sin∠BAC=.

3.(2015·广州高二检测)已知△ABC的三边分别为2，3，4，则此三角形是( )

A.锐角三角形 C.直角三角形

B.钝角三角形 D.不能确定

【解析】选B.设a=2，b=3，c=4，则cosC=ABC是钝角三角形.

==-<0，故C为钝角，因此△

【举一反三】在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角为钝角，这个三角形的三边长分别为. 【解析】设三边长分别为n-1，n，n+1(n>1，n∈N)，则由 n+(n-1)-(n+1)=n-4n<0， 得0

当n=2时，三边长为1，2，3，不能构成三角形. 当n=3时，三边长分别为2，3，4.符合题意. 答案：2，3，4

4.(2014·兰州高二检测)在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，则cosC的值为( )

2

2

2

2

A. B.- C. D.-

【解析】选D.由正弦定理知， a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4， 设a=3k，b=2k，c=4k，k>0则

cosC===-.

5.如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.由增加的长度确定

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2

2

2

2

2

【解析】选A.设直角三角形三边长为a，b，c，各边长均增加x，且a+b=c，则(a+x)+(b+x)-(c+x) =a+b+2x+2(a+b)x-c-2cx-x =2(a+b-c)x+x>0，

所以c+x所对的最大角为锐角.

6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a+c-b)·tanB=

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2

2

2

2

2

2

ac，则角B的值为( ).

A. B. C.或 D.或

【解析】选D.因为=cosB，结合已知等式得cosB·tanB=，所以sinB=，故选D.

二、填空题(每小题4分，共12分)

7.在△ABC中，B=60°，b=ac，则△ABC的形状为.

【解析】由b=ac及余弦定理b=a+c-2accos 60°，得ac=a+c-ac，所以(a-c)=0，所以a=c，又B=60°，所以△ABC为等边三角形. 答案：等边三角形

8.在正三角形ABC中，D是BC边上的点，AB=3，BD=1，则【解析】如图所示，B=60°，

由余弦定理得AD=3+1-2×3×1×cos60°=7， 所以AD=

，

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2

2

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2

2

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2

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·=.

再由余弦定理得cos∠BAD=

=，

所以·=||||cos∠BAD

=3××=.

答案：

【方法锦囊】解三角形与向量知识综合问题的方法

(1)解三角形的问题中含有向量时，通常需要把边长与向量的模相联系，三角形的内角与向量夹角相联系，注意向量夹角与三角形内角的相等关系或互补关系.

(2)应用余弦定理求出未知的边长和角，从而易于求出向量的有关问题. 9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a-b=【解析】利用正弦定理sinC=2

sinB可化为

2

2

bc，sinC=2sinB，则A=.

c=2b.

2

2

又因为a-b=所以a-b=即a=7b，a=

2

22

2

bc， b×2b，

b=6b，

2

在△ABC中，cosA=

=

所以A=30°. 答案：30°

=，

三、解答题(每小题10分，共20分) 10.(2013·北京高考)在△ABC中，a=3，b=2(1)求cosA的值. (2)求c的值.

【解题指南】(1)由条件可以看出，已知两角关系，求角，可以利用正弦定理解决问题.(2)由已知两边和角求第三边，可以应用余弦定理求解.

，B=2A.

【解析】(1)由正弦定理得=，

所以=，=，

即cosA=.

2

2

2

(2)由余弦定理得a=b+c-2bccosA，

所以3=(2

2

2

)+c-2×2

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c×，

即c-8c+15=0，解得c=5或c=3(舍).

11.(2014·辽宁高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·=2，cosB=，

b=3，求： (1)a和c的值. (2)cos(B-C)的值.

【解析】(1)由·=2，cosB=得

2

2

2

·=cacosB=2，所以ac=6.

又由b=3及余弦定理得b=a+c-2accosB， 所以a+c=13，

结合a>c，解得a=3，c=2.

2

2

(2)由a=3，b=3，c=2得cosC==，

sinC==，

由cosB=得sinB==；

所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+

一、选择题(每小题4分，共16分)

×=.

1.(2015·大庆高二检测)在△ABC中，已知b=ac且c=2a，则cosB等于( )

2

A. B. C. D.

【解析】选B.因为b=ac，c=2a，所以b=2a，即b=

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a，所以cosB===.

2.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )

A. B. C. D.

【解析】选D.设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a.由余弦定理得cosθ