2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：
1111211
1．已知x，y为整数，且满足(＋) (2＋2)＝－(4－4)，则x＋y的可能的值有（ ）
xyxy3xy
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．已知非负实数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则t＝2xy＋yz＋2xz的最大值为（ ）
45912A． B． C． D．
791625
3．在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，BE⊥AC于E，交AD于P，已知BP＝3，PE＝1，则AE＝（ ）
A．
6
B．2 C．3 D．6 2
4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ）
1223A． B． C． D．
2534
1
5．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t}＝t－[t].已知实数x满足x3＋3＝18，则
x1
{x}＋{}＝（ ）
x
11
A． B．3－5 C．(3－5) D．1
22
6．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形, ∠ADE＝90° ,则BE的长为（ ）
1
A．4－23 B．2－3 C．(3－1) D．3－1
2
二、填空题：
1．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，
98n
2．使得不等式＜＜对唯一的整数k成立的最大正整数n为________．
17n＋k15
3．已知P为等腰△ABC内一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠PAC＝________．
1 a＋b－c
＋ 1
a＋c－b
＋ 1
b＋c－a
＝1，则abc＝__
4．已知正整数a，b，c满足: 1＜a＜b＜c，a＋b＋c＝111，b2＝ac，则b＝________．
第一试 参考答案
一、选择题
1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 二、填空题
1. 0 2. 144 3. 48° 4. 36
第二试 （A）
一、 设实数a,b满足a(b?1)?b(b?2a)?40，a(b?1)?b?8，求
2211?2的值． 2ab
二、如图，在□ABCD中， D为对角线BD上一点，且满足∠ECD＝∠ACB, AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F.
D证明：∠DFE＝∠AFB
AE
CF
B
三、设n是整数，如果存在整数x，y，z满足n＝x3＋y3＋z3－3xyz，则称n具有性质P. 在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并说明理由.
第二试 （A）答案
一、解 由已知条件可得ab?(a?b)?40，ab?(a?b)?8.
设a?b?x，ab?y，则有x?y?40，x?y?8， 联立解得(x,y)?(2,6)或(x,y)?(6,2).
若(x,y)?(2,6)，即a?b?2，ab?6，则a,b是一元二次方程t2?2t?6?0的两根，但这个方程的判别式??(?2)?24??20?0，没有实数根；
若(x,y)?(6,2)，即a?b?6，ab?2，则a,b是一元二次方程t2?6t?2?0的两根，这个方程的判别式??(?6)?8?28?0，它有实数根.所以
222222211a2?b2(a?b)2?2ab62?2?2??22???8. a2b2aba2b222
二、证明 由ABCD是平行四边形及已知条件知?ECD??ACB??DAF. 又A、B、F、 D四点共圆，所以?BDC??ABD??AFD，所以△ECD∽△DAF，所以
EDCDAB.又?EDF??BDF??BAF，所以△EDF∽△BAF，故 ??DFAFAF?DFE??AFB.
三、解 取x?1，y?z?0，可得1?13?03?03?3?1?0?0，所以1具有性质P.
取x?y?2，z?1，可得5?23?23?13?3?2?2?1，所以5具有性质P. 为了一般地判断哪些数具有性质P，记f(x,y,z)?x?y?z?3xyz，则
333f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)
＝(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx)
31?(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 21?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 21即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2] ①
2不妨设x?y?z，
2024年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)(1)
