第十二讲 随机变量及其分布列
课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀
授课班级 授课日期 月 日 组 学员
本章主要内容： 1.离散型随机变量的定义； 2.期望与方差；
3.二项分布与超几何分布.
本章教学目标： 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点) 2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)
3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)
第一节 离散型随机变量及其分布列
课外拓展 “超几何分布”一词来源于超几何数列，就像“几何分布”来源于几何数列。 几何数列又叫等比数列，“几何分布”、'几何数列\名称的来源前面的文章已经解释过，请看一些带\几何\的数学名词来源解释。几何分布（Geometric distribution）是离散型机率分布。其中一种定义为：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。详细的说，是：n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的机率。 【知识与方法】
一．离散型随机变量的定义
1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
①随机变量是一种对应关系； ②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化.
2.表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
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3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .
4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量 5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，??0，
表示正面向上，??1，表示反面向上 （2）若?是随机变量，??a??b,a,b是常数，则?也是随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 二．离散型随机变量的分布列
1.一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn, X取每一个值xi(i=1,2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则称表：
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 为离散型随机变量X的概率分布列， 简称为X的分布列． 用等式可表示为P(X=xi)=pi，i=1,2，…，n, 也可以用图象来表示X的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0，i=1,2，…，n；②
n?pi?1i?1．
分布列的优缺点：[优点]离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值， 而且也能看出取每一个值的概率的大小， 从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况． [缺点]（1）分布列不能表示X的平均水平；(2)分布列不能表示X的波动程度． 三．两个特殊分布 1.两点分布X~B(1,P)
X P 0 1-p 1 p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率． 注意：随机变量X只有发生和不发生两种情况才叫两点分布，且X的取值只能是0和1. 2.超几何分布X~H(N,M,n)
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=m，其中m=min?M,n?，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X P 0 0n?0CMCN?MnCNkn?kCMCN?MnCN，k=0,1,2，…，
1 1n?1CMCN?MnCN… … m mn?mCMCN?MnCN 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
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【例题与变式】
题型一 随机变量 【例1】判断正误：
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．( ) (3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．( ) (4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．( )
【例2】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量； (2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数； (3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间； (4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
【变式1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数； (2)标准大气压下，水沸腾的温度；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次； (4)体积为64 cm3的正方体的棱长．
【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某座大桥一天经过的车辆数X； (2)某超市5月份每天的销售额；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
【变式2】下列变量中属于离散型随机变量的有________．(填序号)
(1)在2 017张已编号的卡片(从1号到2 017号)中任取1张，被取出的编号数为X； (2)连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；
(3)在广州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从广州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；
(4)投掷一枚骰子，六面都刻有数字8，所得的点数X.
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题型二 随机变量的可能取值及试验结果
【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，则X的所有可能取值有哪些？
【例2】（2017春?清河区月考）设b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．设随机变量ξ=|b-c|，求随机变量ξ的取值情况．
【变式】（2017春?大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，列出所得分数X的所有可能.
题型三 分布列及其性质的应用
i
【例1】设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4)，求：
a
(1)P(X=1或X=2)；
17(2)P(?X?).
22
【例2】（2017春?文昌月考）设随机变量X的分布列为P(X?i)?A．
k15（ ） ,i?1,2,3,4,5,则P(?X?)等于
25222211 B． C． D． 155515【例3】已知数列?an?是等差数列，随机变量X的分布列如下表：
X x1 a1 x2 a2 x3 a3 x4 a4 x5 a5 P 求a3.
【变式1】若离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 3a2?a P 求常数a．
4a?1
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2【变式2】（2017春?秦都区月考）设随机变量X的分布列为P(X?i)?a?()i,i?1,2,3,，则a的值为（ ）
3A．
17271727 B． C． D． 38381919X 0 10a2?a 【变式3】（2017春?武陵区月考）若离散型随机变量X的分布列为：
1 P 则实数a的值为_______．
【例4】设离散型随机变量X的分布列为：
X 0 0.2 1 0.1 2?6a 2 0.1 3 0.3 4 m P 求：(1)2X+1的分布列； (2)|X-1|的分布列.
【变式4】(2017·南宁二模)设随机变量X的概率分布列如下表，则P(|X-2|=1)=（ ）
X 1 2 3 m 4 P 1 61 41 37151A. B. C. D. 122126题型四 求离散型随机变量的分布列
【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
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高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习(题型完美版)
