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10a0
6.4.设Ab10b，detA0，用a，b表示解线性方程组Axf的雅可比迭代与
0a5
高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。 解雅可比迭代法的迭代矩阵
a
001
100a010
bb
BJ，
10b0b0
1010
100a0 a
00 5
23ab
| IBJ|， 100
3|ab| ( BJ)。 10
100 雅可比迭代法收敛的充分必要条件是 |ab|。 3
高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵
a
001
100a010
abb
BS，
b1000b0
10010
0a10000 ab
00 500
3|ab|
(B S。 |I
)
100
100
高斯—塞德尔迭代法收敛的充分必要条件是 |ab|。
3
23ab S|， 100 B
2
3 2 x 1 6.5.对线性方程组
1 2 x
2
(k1)(k)(k) xx(Axb)，k0,1,
3
，若用迭代1 法
求解，问在什么范围内取值可使迭代收敛，取什么值可使迭代收敛更快？ 解迭代公式可以写成
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迭代矩阵为BIA。由
( k1)(k) x (IA)xb，
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|
32 IA|54(1)(4)，
2
12
故矩阵A的特征值为1和4，所以矩阵B的特征值为1，14，因而
(B)max{1,14}。
这样
11
(B)10，
1 2141
1 所以当0
时迭代收敛。
2
当
2 5
时， (B)max{1,14}
32
达到最小值，故时收敛最快。
55
6.6.用雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代解线性方程组Axb，证明若取
302
A021，则两种方法均收敛，试比较哪种方法收敛快？
212
解雅可比迭代法的迭代矩阵
2 3
B
00
J，1
1
111
D(LU)00(B)，
212 J
1 10
2
故雅可比迭代法收敛。
高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵
2
001
3000023
1111
BS(DL)U020000，1
01(B)，
212
212000 11
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S
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00 12
故高斯—塞德尔迭代法收敛。
1111
因(BS)(BJ)，故高斯—塞德尔迭代法收敛快。
1212
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6.7.设有线性方程组Axb，其中A为对称正定矩阵，迭代公式
(k1)(k)(k)
xx(bAx)，k0,1,2,，
2 试证明当 0时上述迭代法收敛(其中0(A))。
证明将迭代公式写成
( k1)(k) x (IA)xb，k0,1,2,，
迭代矩阵为BIA，其特征值1(A)。
由1，即1(A)1，得
2 ，
(A)
2
，即1，这时(B)1，故迭代收敛。 (A)
0
2 故当 0时，有
0
2
7.1.用二分法求方程x10的正根，要求误差小于0.05.
x
2
解设f()1，因为f(0)10，f(2)10，所以[0,2]为f(x)的有根区
xxx 间。
又f'(x)2x1，故当
1
0x时，f(x)单调递减，当
2
1
x时，f(x)单调递增。
2 *
15 而
f，f(0)1，由单调性知f(x)的唯一正根x(1.5,2)。 24
1
根据二分法的误差估计式，要求误差小于0.05，只需0.05
k，解得k15.322， 1 2 故至少应二分6次。具体计算结果见下表。
kakbkxkf(xk)的符号 0121.5- 11.521.75+ 21.51.751.625+
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数值分析作业答案(第6章part2&第7章)(1)
