《三角形》压轴专题训练
1．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”． 【特例探究】
（1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝6
时，AC＝ ，BC＝ ；
如图2，当sin∠PAB＝，AB＝4时，AC＝ ，BC＝ ； 【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论． 【拓展证明】
（3）如图4，在△ABC中，AB＝4
，BC＝2
，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．
2．在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点
D为AB的中点，连接DF．
（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；
（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝
DF；
（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、
BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．
3．如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN． （1）当∠BAM＝ °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件： ，使得△ABC为等边三角形； ①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；
②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．
4．如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得
CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．
（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示） （2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式． （3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．
5．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题． 数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE与CD的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．”
小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．” …
老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．”
2020年中考数学复习：《三角形》压轴专题训练(解析版)
