最新人教版九年级数学知识点总结(2019)
人教版九年级数学知识点总结
21.1 一元二次方程
易错点：? a≠0 和a=0 ? 方程两个根的取舍 知识点一
一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：
① 只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是2； ③是整式方程。
知识点二
一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三
一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.
（2） 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两
个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子
的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
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通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二次项系数；
（3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右边
为非负数，直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法
知识点一 公式法解一元二次方程
（1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为
x=
2?b?b?4ac2a以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：
① 方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ② 确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③ 求出b2-4ac的值；
④ 若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根(有虚数根-- 高中学)。
，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可
知识点二 一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它， 即△=b2-4ac.
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 根的
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 判别式
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 21.2．3 因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程
（1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
（2） 因式分解法的详细步骤：
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① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；
③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程
方法名称 理论依据 适用范围 形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0) 所有一元二次方程 所有一元二次方程 直接开平方法 平方根的意义 配方法 公式法 因式分解法
完全平方公式 配方法 当ab=0，则a=0或b=0 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=，?bc,x1x2= aa21.3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量
关系。
（2） 设：是指设元，也就是设出未知数。
（3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，
然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
（4） 解：就是解方程，求出未知数的值。
（5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型
（1） 数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.
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（2） 增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低 后的等量关系为a（1?x）2=b。 （3）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销 售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来，建立一元二次方程。
22. 二次函数知识点归纳
一、相关概念及定义
b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函1 二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，c可以为零．二次函数的定数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，义域是全体实数．
2 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （2）a，二、二次函数各种形式之间的变换
21二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中
b4ac?b2h??，k?.
2a4a22 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；
④y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c. 三、二次函数解析式的表示方法
1 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以
写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
1 五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
c?、c?、c?关于对称轴对称的点?2h，0?，顶点、与y轴的交点?0，以及?0，与x轴的交点?x1，?x2，0?2（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 五、二次函数y?ax2的性质 a的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 4 性质 最新人教版九年级数学知识点总结(2019) a?0 a?0 向上 向下 ?0，0? ?0，0? y轴 y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． 六、二次函数y?ax2?c的性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的a?0 向上 ?0，c? y轴 增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的a?0 向下 ?0，c? y轴 增大而增大；x?0时，y有最大值c． 2七、二次函数y?a?x?h?的性质：
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随a?0 向上 ?h，0? X=h x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随a?0 向下 ?h，0? X=h x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 2八、二次函数y?a?x?h??k的性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随a?0 向上 ?h，k? X=h x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随a?0 向下 ?h，k? X=h x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 九、抛物线y?ax2?bx?c的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 1 a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下； 5
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